工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
sC
200

M
C
y1 y2
22 MPa 40 . 50 MPa
Iz M
B
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
s
zO
O
y1
B

Iz
M
C
12kN
+ －
16kN
+
s
160
x
z
C
40
y2
60 . 74 MP
20kN M 12kN· m
工程力学
3、纯弯曲时正应力分布关系
s ( y)
My Iz
压应力
由公式可知，某一截面的最大正应力发生在 距离中性轴最远处。
s max
M Iz y max Iz y max
弯矩M
截面
取 Wz
拉应力
s max
M Wz
工程力学
s
My z
s——横截面上的正应力，（Pa或MPa） M——横截面上的弯矩，（N· m） y——横截面上任一点到中性轴的距离，（m） Iz——截面对Z轴的惯性矩， 与截面的形状和尺寸有关，（m4)
剪力图Fs
弯矩图M
工程力学
剪力图Fs
弯矩图M
梁段CD上，剪力Fs＝0，弯矩M0
梁段AC和BD上，剪力Fs0，弯矩M0
－－纯弯曲 －－横力弯曲
工程力学
2、实验观察
M M
变形前
a b a b
变形后 mm’ nn’ 仍为直线，且垂 直于aa,bb 根据实验结果，可假设，变形 前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持平面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，这就是弯曲变形的平面假 设。
15kN 1
A 90 90
A 150
B C D 30
B 50 C
150
z
1 4m 1m
y
D 工程力学
解：(1) 画出梁的弯矩图
3m
20kNm
15kN 1
A
B C
D
4m
1m 1
+ 20
M (kNm)
25
工程力学
(2) 计算A、B、C、D四点的正应力。
M 1 1 20 kN m
Iz bh 12
6
Iz
M
C
2 . 9 10
7
C
12 10 146 . 8
6
Iz
2 . 9 10
7
60 . 74 MPa
工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
4、应力计算
200
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
考察B截面，弯矩为负
zO
O
40
y1
M
z
M
12kN
+ －
工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
4、应力计算
200
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
考察C截面，弯矩为正
zO
O
40
y1
12kN
+ －
16kN
+
M
z
M
x
160
C
22 MPa
20kN M 12kN· m
+ －
C截面下边受拉上边受压
x 8kN· m
s
s
C

M
C
y1

y2
12 10 53 . 2
工程力学
矩形截面和圆形截面的惯性矩
矩形截面
圆形截面
Iz
bh 12
，W z
4
h 2 Iz
d 2
4

6

h
3
Iz
bh
2
Iz
d
64
，W z
d
32
3
b
IZ
(D
4
d )
4

D
64
(1 )
4
D
64
WZ
D
32
3
(1 )
4
d D
s沿横截面宽度方向均匀分布。
变形后
m a b m' n a b n'
M
工程力学
变形前
M M
a b a b
由于弯曲的作用，上部纤维缩短， 下部纤维伸长。 中间必有一层保持原长，这一层称 为: 中性层
变形后
m a b m' n a b n'
M
工程力学
b
B
C
b
B'
C'
b c a
b c
横截面
M
c a
c
A'
中性层
A
a
a
cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴 除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无 挤压，即纵向纤维间无正应力。
53 . 2 mm
2
160
z
Iz
160 200 12
3
(160 200 ) (100 53 . 2 )
3
140 160 12
2 . 9 10
7
(140 160 ) (120 53 . 2 )
2
4
mm
y 2 200 53 . 2 146 . 8 mm
z y
dA
Mz
M
z

E
r

y dA M
2 A
s
1
x
Mz My
FN

A
y dA I z
2
y
E
横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩 1 / r 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / r 越小 EI 梁的抗弯刚度
r
Iz M
r

M EI z
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导
s ( y) E
工程力学
公式导出条件： 1、纯弯曲； 2、正应力不超过材料的比例极限；
工程力学
公式适用条件：
1、纯弯曲；（Fs＝0, M0） 2、满足胡克定律； 3、 适合任何形状截面； 4、对于横力弯曲，细长梁可以近似使用（跨 度与截面高度比大于5）；
工程力学
z轴为横截面的对称轴时 (如图形、矩 形、工字形)
工程力学
组合公式：
IZ = IZ（1）+ IZ（2）+……+ IZ（n）
三、平行轴定理
任一截面面积为A，过形心取yc、zc轴，过任一点O取 与yc 平行且相距为b的y1轴及取与zc轴平行且相距为a的
z1轴，则有： IZ1 = IZc+Aa2
Iy1 = Iyc+Ab2
所以：一组平行轴，对过质心的轴的惯性矩最小。
r
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—物理关系 纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩， 当应力小于某一限值(比例极限)时，由胡克定律: 代入几何关系 得到
s E
( y)
y
r
y
s ( y) E
r
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
FN

s ( y )dA
一般情况下，梁弯曲时横截面上既有正应力也 有切应力，为便于讨论，先研究纯弯曲下的应力分 布规律。
t Fs
M
M
Nc Nt
s M
工程力学
思路：先研究只有M，没有Fs情况下，正应力
分布规律：M-s关系。然后分析Fs的存
在对s分布规律的影响。从而得到既有 M又有Fs时的正应力分布规律。
工程力学
火车轮轴简化
16kN
+
x
160
B
20kN M 12kN· m
+ －
B截面上边受拉下边受压
x 8kN· m
s
B

M
y B 2 Iz

8 10 146 . 8
6
2 . 9 10
6
7
40 . 50 MPa
s
B

M
y B 1 Iz

8 10 53 . 2 2 . 9 10
7
14 . 67 MPa
FN
FN 0
0
M
z
M ( 弯矩 )

s ( y )dA
A
E
r

ydA 0
A
E
r
0

A
ydA S z 0
横截面对 z 轴的静矩等于零 Z轴（中性轴）通过截面形心
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
M
z


s ( y ) y d A M ( 弯矩 )
A
|s
L max
| | s C max |
z轴不是对称轴时(如T字、梯形等)
|s
L max
| | s C max |
工程力学
§11-3 惯性矩与平行轴定理
b
惯性矩：
Iz

y dA
A
2
一、简单截面的惯性矩
1、高为h、宽为b的矩形截面：