M max Fl 4

A
n
ydA AyC
n
[L]3
－截面对z轴的静矩
S
i 1
zi

S y zdA AzC
A

i 1
Ai yCi
Sy
Az
i 1
n
i Ci
惯性矩
I z A y 2dA
Iz Iz i
I y z dA
2 A
[L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
n

i 1
Iy
I
i 1
解：1. 弯矩计算 2. 形心位置计算
Sz
M B Fl 6000 N m
由矩形 1 与矩形 2 组成的组合截面
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
19
A
A1 yC 1 A2 yC 2 yC A1 A2
bd
d db d b 2 2
本章主要内容
对称弯曲正应力
对称弯曲切应力
弯曲强度计算与合理强度设计 双对称截面梁非对称弯曲 弯拉（压）组合应力与强度
5
§11.2 对称弯曲正应力
弯曲试验与假设 对称弯曲正应力公式
例题
6
弯曲试验与假设
弯 曲 试 验
7
试验现象 横线为直线，仍与纵线正交
纵线变为弧线，靠顶部纵线缩短,
D=1400mm的带轮上，钢带的弹性模量E=200GPa。试求： 钢带内的最大弯曲正应力 max 与钢带承受的弯矩 M
解：1. 问题分析
已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力 应力～变形关系：
E
y

max E
ymax

内力～变形关系：
M EI z 1
M
3
弯曲应力与对称弯曲
弯曲应力
弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的 弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的
对称弯曲
对称截面梁，外力作用在该对称面内，梁的变形对称于纵 向对称面－对称弯曲
4
变形形式与本章内容
变形形式
基本变形形式－轴向拉压，扭转，弯曲
组合变形形式－两种或三种不同基本变形形式的组合 弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合
I p d 4 Iz 2 64
Ip 2I z
d 4 2 d 3 Wz 64 d 32
17
平行轴定理
平行轴定理
建立 I z 与 I z0 的关系
I z A y 2dA
I z A y0 a dA
2
2 I z A y0 dA 2a A y0 dA Aa2
30
§11.5 梁的强度条件
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件 例题
31
梁危险点处的应力状态
实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
32
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
33
梁的强度条件
梁的强度条件 弯曲正应力强度条件： 材料单向应力许用应力 max [ ] 弯曲切应力强度条件： 材料纯剪切许用应力 max [ ] 强度条件的应用 细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ] 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段 max [ ] max [ ] 对一般薄壁梁，还应考虑 、 联合作用下的 强度问题（参见第 14 章中的强度理论）
y

(a)
dA 0 A
(b)
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2dA M
M EI z 1
Iz
A
y2dA－惯性矩
(d)
EI － 截面弯曲刚度
z
(d)(a)
My max max Iz
2
I z I z1 I z 2 8.84106 m4
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) c,max B 64.5 MPa Iz
t,max
20
例 3-2 已知：宽 b = 6mm，厚 d = 2mm的钢带环绕在直径
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
18
I z I z0 Aa2
同理得：
I y I y0 Ab2
例 题
例 3-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max
MS z (w ) F Iz
S z (w ) dM ( y) bI z dx
( y)
FS S z (w ) I zb
h 1 h b h2 2 S z (w ) b y y y 2 2 2 2 4
假设 (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布
1 dF F 0, 'bdx ( y)bdx dF ( y) b dx
x
F dA M w Iz

w
y*dA
MS z (w ) Iz
24
Sz(w)－面积 w 对中性轴 z 的静矩
( y) 1 dF b dx
公式仍足够精确
26
薄壁截面梁的弯曲切应力
工字形薄壁梁 假设 : // 腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布
FS S z (w ) ( y) I zd
( y)
FS 2 b( h0 h2 ) d ( h2 4 y2 ) 8 I zd


max (0)
h min ( ) 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210-6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210-6 m4
12 2
29
例 题
例 4-1 FS = 15 kN, Iz = 8.8410-6 m4, b =
120 mm, d 20 mm, yC = 45 mm。试求:
max ；腹板与翼缘交接处切应力 a
解： Sz ,max d (d b yC ) (d b yC )
2
Sz ,max
靠底部纵线伸长 纵线伸长区，梁宽度减小；纵线缩 短区，梁宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设 各纵向“纤维”仅承受轴向拉应力或压应力－单向受力假设 8
推 论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面的交线－中性轴
对称弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面。 因此，中性轴垂直于横截面纵向对称轴
bh3 Iz 12
3FS 4 y 2 ( y) 1 2 2bh h
max 3
FS 2A
25
截面翘曲与非纯弯推广
切应力非均布 切应变非均布 截面翘曲
当FS=常数时， ab = a'b' ，弯曲 仍保持线性分布

当梁上作用横向分布载荷时，只要 l > 5h，纯弯
d (d b ymax 7.66 MPa I zd b bd d yC 8.40 10-5 m3 2 FS S z ,a a 7.13 MPa I zd
9.03 105 m3
My ( y) Iz
Iz Wz －抗弯截面系数 ymax
M max Wz
11
总 结
假设 平面假设，单向受力假设 综合考虑三方面
( y)
y

( y) E ( y)
dA 0 ydA M A A
结论
中性轴位置：中性轴过截面形心 中性层曲率：
解：1. 工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
I z 1.66 105 m4 Wz 1.85 104 m3
13
I z 1.66 105 m4
Wz 1.85 104 m3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 max 与
E bd 3 1.141 N m M 12
d
3. 弯矩计算
M EI z 1
EI z
22
§11.4 对称弯曲切应力
矩形截面梁的弯曲切应力 薄壁截面梁的弯曲切应力
弯曲正应力与弯曲切应力比较
例题
23
矩形截面梁的弯曲切应力
弯曲切应力公式 狭窄矩形截面梁 (h>b)
当腹板厚度 d 远小于翼缘宽度b时，最大与最小切应力的差值 很小。因此，腹板上的切应力可近似看成是均匀分布的27
盒形薄壁梁
假设 : // 腹板侧边,
并沿腹板厚度均布
FS Sz (w ) I z 2d
( y)
w
FS 2 ( y) b( h0 h2 ) 2d ( h2 4 y2 ) 16 I zd
2. 应力计算
M M e 20.0 kN m