0 1 1 2 0 1 1
2
1（1）（ 2）（ 2） 4
0 0 2 4 0 0 2 4
0 0 2 2 0 0 0 2
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3 1 1 2
例3
计算
5 D
1
3 4 .
2 0 1 1
1 5 3 3
1 3 1 2
1 3 1 2
解 D c1 c2 1 5
3 4 r2 r1 0 8
a11 a12
a1n
ai1 ai2
ain
as1 as2
asn
as1 as2
asn
ai1 ai2
ain
an1 an2
ann
an1 an2
ann
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性质1.2.3 如果行列式中有两行（列）对应元素相同，
则此行列式等于零. 性质1.2.4 将行列式的某一行（列）中所有元素同乘以k,
4 6
0 2 1 1 r4 5r1 0 2 1 1
5 1 3 3
0 16 2 7
1 3 1 2
1
r2 r3 0 2 1 1 r3 4r2 0
0 8 4 6 r4 8r2 0
0 16 2 7
0
40.
3 2
1 1
2 1
r4
5 4
r3
1 0
0 8 10
0
0 10 15
0
3 1 2 2 1 1
ai 2 kai2 a j2
ain kain a jn
an1 an2
ann
an1
an 2
ann
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注 该性质是计算行列式一种常用方法，为此做如下约定：
1.交换i, j两行（列），表示为： i
j
2.第i行（列）乘以k，表示为： k i 3.第i行（列）乘k后加到第j行（列），表示为： k i j 4.对行（列）使用行列式性质写在等号上面（下面）.
0 8 10 5
0 02
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0 ②3+③ 1 2 2
=
5 0
0
7 12
0 0 3 1
1201
0 ④(2)③ 1 2 2
=
5 0
0
1
14
0 0 3 1
120 1
0 ③(3)④ 1 2 2 51 (1)1 (43) 215
=
5 0
0
1
14
0 0 0 43
说明：计算行列式时，利用行列式的性质将行列式化为上（下）三
角形行列式，由三角形行列式等于主对角线上元素的乘积求出行列式的 值，是计算行列式的基本方法之一。
1 1 0 11
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12 0 1
例1.2.3 计算行列式D 2
3
10
0 .
0 3 5 18
5 10 15 4
1201
= 解 D
2 5
3
20
③5 0 3 1 18
5 10 3 4
1201
①（- 2）+②
①（-5）+④ 0 1 2 2
=
5 0
3
1 18
0 0 3 1
1201
a31 a32 a33
522 3 1 5 26
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性质1.2.6 若行列式的某一行（列）中所有元素都是两项和， 则该行列式可表为两个行列式相加，即
a11
a1n
a11
a1n a11
a1n
bi1 ci1
bin cin bi1
bin ci1
cin
an1
ann
an1
ann an1
ann
注 该性质可以推广到某行（列）每个元素为m项和的情形中.
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性质1.2.7 将行列式中某一行（列）的所有元素都乘以数k后 加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变. 即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 a j1 a j2
ain
ai1
a jn kai1 a j1
DT a12 a22
an 2
an1 an2
ann
a1n a2n
ann
行列式DT 称为D的转置行列式.
性质1.2.1 对任何行列式D,均有DT =D. 注 行列式的行具有的性质，它的列也具有相同性质.
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性质1.2.2 行列式两行（列）互换，其值变号. 即
a11 a12
a1n
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1 a1 例1.2.2 计算行列式 1 a2
1 a3
2 a1 2 a2 2 a3
3 a1 3 a2 . 3 a3
1 a1 2 a1 1
= 解 D
1 a2 2 a2 1
(1)②+③ 1 a3 2 a3 1
1 a1
= 1 a2
(1)①+② 1 a3
11
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例2 计算行列式
0 1 1 2 1 1 0 2 1 1 0 2
1 D
1
1 2
0 1
2 0 0 1
1 2
1 1
20
0
0
1 1
1 1
2 2
2 1 1 0 2 1 1 0 0 3 1 4
交换第一行和第二行 第1行加到第3行 第1行乘以-2加到第4行
1 1 0 2 1 1 0 2
a13 2a11
2a21 5 2 2 a23
2 a12 3 2 a22
a11 a21
3
a33
2 a32
a31
a33
3 2
a32
a31
3 a33 2 a32 a31
5 2 2
3 2
a13 a23
a12 a22
a11 a21
5
2
2
3 2
(1)
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a33 a32 a31
a11 例1.2.1 设 a21
a12 a22
a13 a23
1 6
，求
10a13 2a23
15a12 3a22
10a11 2a21 .
a31 a32 a33
3
a33
2 a32
a31
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3
10a13 15a12 2a23 3a22
10a11
2a13
2a21 5 2a23
3a12 3a22
等于用这个数k乘该行列式.即
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
kai1 kai2
kain k ai1 ai2
ainΒιβλιοθήκη an1 an2ann
an1 an2
ann
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性质1.2.5 若行列式中有两行（列）的对应元素成比例， 则此行列式等于零.
推论1.2.1 若行列式中某一行（列）所有元素全是零， 则此行列式等于零.
第二节 行列式的性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列 式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为 简化。
要求：证明不重要，但必须记住性质并用它们来计算行列式。
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§1.2 行列式的性质
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
a11 a21
an1