即
4
2
0
x2
0
,
1 0 1 x3 0
1
其基础解系为
1
2
,
1
对应1= 2=1的全部特征向量为 c11 (c1≠0).
当3=2时， 解齐次线性方程组 (2E A)X o
3 1 0 x1 0
即
4
1
0
x2
0
,
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0 0 x3 0
0
方程组的一个基础解系 2 0 ,
1
对应3=2的全部特征向量为 c22 (c2≠0).
则 A 的对于特征值 i 的全部特征向量为
c1i1 c2i2 cniini
(c1, c2 ,…, cni是不全为零的常数).
例
求矩阵
7 A 6
2
6
的特征值和特征向量.
解: A 的特征多项式为
7
E A 6
2
6
3
10
,
令 I A 0 得 A 的特征值为1 3, 2 10.
当1=3 时， 解齐次线性方程组 (3E A)X o
的特征向量.
例如
设A=
-3 -2
2 2
,
2, 存在
2 1
,
使得
A
-3 -2
2 2
2
1
4
2
2
2
1
称
2是A的一个特征值,
2 1
是A的
属于特征值 2的一个特征向量.
注 特征值与特征向量是相对于方阵而言的，且特征向量为 2 非零列向量.
性质：
1. 若为A的特征值，是矩阵为A的对应于特征值的特征向量, 则对于任意非零常数c，c也是对应于特征值的特征向量. 即对应于同一个特征值的特征向量有无穷多个，一个特征向 量只能对应于一个特征值。
1 a b
223的一个特征向量
1
1
1
求参数a, b及特征向量所对应的特征值 .
解 设 为特征向量 所对应的特征值，则 A =
即
2 5 1
1 a b
223 111 111
1 得方程组 2 a
1 b 2
1
解得 a 3
b0
例5.1.5 试证: n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是A 至少有一个特征值为零.
性质5.1.2
设矩阵A (aij )nn , 若
n
(1) aij 1(i 1,2,, n) j 1
或
n
(2) aij 1( j 1,2,, n) i 1
有一个成立，则k 1(k 1,2,, n).
性质5.1.3 设n 阶方阵A aij 的n 个特征值为1,2 , ,n
则 1)
6 6 2b
3 3 3
2 I A 3 4 a 3 3[(b 2)(a 7) 72]=0
6 6 4b
3(a 5)(4 b) 0 解 3[(b 2)(a 7) 72] 0
t r(A)=1+a+b =1 + 2+ 3
a = -5 得 b=4
3 = -2
例
设
A
2 5 1
证明 对m用数学归纳法 .
当m 1时,因1 0, 故1线性无关 , 性质成立.
假设m 1, 且性质对m 1成立,下证对m成立.
设k1a1 k2a2 ... km1am1 kmam ,
(1)
则A(k1a1 k2a2 ... km1am1 kmam ) ,
k1( A1) k2 ( A2 ) ... km1( Am1) k m( Am ) ,
1 2 2
例5.1.2 求矩阵A 2 2
4
的特征值和特征向量.
2 4 2
解 矩阵A的特征方程为
1 2 2
E
A
2
2
4
22
7
0,
2 4 2
故A的特征值为1 2 2，3 7.
当1= 2=2时，解齐次线性方程组 (2E A)X o
1 2 2 x1 0
2 2
即
故k1 k2 km1 km 0,
于是1
,
2
,,
线性无关
m
.
性质5.1.5 设1， 2，, s是n阶矩阵A的s个不同的特征值, i1,i2 ,,iri 是矩阵A对应于特征值i的线性无
关的特征向量(i 1,2,, s),则特征向量组
11， 12，...,1ri ,21,22,...,2r2 ,...,s1,s2,...,srs
不是A的特征向量.
证明 反证法 设1 2 ... m是A的特征向量 ,则
A(1 2 m ) (1 2 m ). 另一方面
A1 2 m A1 A2 Am
故 A有一个特征值 = -3,
AAT 2E, AAT 2E , A 2 16, A 4,
又 A 0,
则 A 4.
于是伴随矩阵 A* 有一个特征值
A
4 3
.
1 3
例5.1.6 设 A 63
a 6
求参数a, b及 3.
3 b3 有特征值 1= -2, 2=4, 3,
解：
3 3 3
1 I A 3 2 a 3 3(a 5)(4 b)=0
n (a11 a22 ann ) n1 (1)n | A |
在复数域内必有个n根（重根按重数计），因此，n阶方阵A
必有n个特征值，记为1，2， n. 结论 设A (aij )为n阶方阵,则是A的特征值,是A的属于
的特征向量 为特征方程| E A | 0的根,是齐次 线性方程组(E A) X 0的非零解.
为c1 1i(c1为任意非零常数).
同理,可得与2 2i对应的全部特征向量为c2 1i(c2为任意
非零常数).
5.1.3 特征值与特征向量的基本性质
性质5.1.1 n阶矩阵A与其转置矩阵 AT 有相同的特征值 .
证明 因E AT E AT E A,
故A与AT 有相同的特征值 . 注 A与AT 未必有相同的特征向量 .
3
2
,
2
对应3=-7的全部特征向量为 c33(c3 0).
例5.1.3 结论
例5.1.4
设A
0 2
02, 求A的特征值与特征向量.
解 矩阵A的特征方程为
E A
2 2 4 0,
2
故A的特征值为 1 2i，2 2i.
对于1 2i, 解2iE AX 0, 得与1 2i对应的全部特征向量
（ 4）A -1的特征值为-1，1/2，1/3.
（5）|A|=(-1)×2×3 = -6. （6） A* 的特征值为6，-3，-2.
例5.1.5
例5.1.5设 A为四阶矩阵，满足条件 3E A 0, AAT 2E, 而且 A 0. 求 A 的伴随矩阵 A* 的一个特征值.
解：3E A (3E A) (1)4 3E A 0
第5章 矩阵的特征值与特征向量
§5.1 矩阵的特征值与特征向量 §5.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 §5.3 实对称矩阵的对角化
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
5.1.1矩阵的特征值与特征向量
定义5.1.1 设A为n阶方阵,若存在常数与n维非零列向量 ,使
A
则称为A的特征向量,为A的对应于特征值
, 2
,
,
A
n
是 A* 的特征值。
例 3阶方阵A的特征值为-1，2，3 , 求
（1）2A的特征值；（2）A2的特征值；
（3） A2- 2A+3E的特征值；（ 4）A -1的特征值；
（5） |A| ； （6） A* 的特征值.
解 （1）2A的特征值为-2，4，6.
（2）A2的特征值1，4，9.
（3） A2- 2A+3E的特征值为6，3，6.
等价表述 : n阶矩阵A可逆的充要条件是其任 一特征值都不为零 证明 必要性: 若A是奇异矩阵,则 | A | 0, 于是
OE A A 1n A 0,
即0是A的一个特征值. 充分性: 若0是A的一个特征值,则
0 0E A A 1n A 0,
于是 | A | 0,即A是奇异矩阵.
特征向量
特征值
即 若是矩阵A的特征值,则| E A | 0,而A的属于的特征 向量则是齐次线性方程组(E A)X 0的非零解;反之也成立
定义5.1.2 设 A 是 n 阶方阵，
E A ——方阵 A 的特征矩阵. E A ——方阵 A 的特征多项式.
E A 0 ——方阵 A 的特征方程.
5.1.2 特征值与特征向量的求法
求矩阵特征值与特征向量的步骤:
1、计算 A 的特征多项式 E A ;
2、令 E A 0, 求出 A 的 全部特征值；
3、对 A 的每一n i重特征值 i , 求解齐次线性方程组
(i E A)x o
设基础解系为 i1,i2,,ini (即A的属于特征值i的线性无关的特征向量).
k111 k222 ... km1m1m1 kmmm . (2)
(1)两端乘m减(2)得
k1(1 m )1 k2 (2 m )2 km1(m1 m )m1 .
由归纳假设 , 得
ki (i m ) 0(i 1,2,, m 1).
因i m 0(i 1,2,, m 1),
线性无关.
性质5.1.6 如果λi是n阶方阵A的k重特征值，则A的对应于λi的线性无 关特征向量的个数至多有k个. 特别地，如果A的特征值λi是
单特征值，则对应于λi的线性无关特征向量有且仅有一个.
关于特征值的一些常用结论：
设 A 是 n 阶方阵， 为 A 的特征值,则
(1) k 为 k A 的特征值: (kA) = k(A ) = k =(k ) . (2) k 为 A k 的特征值: Ak = Ak-1A = Ak-1 =…=k . (3) +1为 E+A 的特征值: (E+A) = +A = + =(+1) .