解三角形测试题
一、选择题：
1、 ABC 中 ,a=1,b=
3 , ∠A=30 ° ,则∠ B 等于
（
）
A ．60°
B ． 60°或 120°
C ． 30°或 150°
D ． 120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
（
）
A ． a=1,b=2 ,c=3
B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 °
C ． a=1,b=2,∠ A=100 °
C ． b=c=1, ∠ B=45 °
3、在锐角三角形 ABC 中，有
（
）
A ． cosA>sin
B 且 cosB>sinA B ． cosA<sinB 且 cosB<sinA
C ． cosA>sinB 且 cosB<sinA
D ． cosA<sinB 且 cosB>sinA
4、若 (a+b+c)(b+c －a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC 是
（
）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5、设 A 、B 、C 为三角形的三内角 ,且方程 (sinB － sinA)x 2
+(sinA －sinC)x +(sinC － sinB)=0 有等
根，那么角 B
（
）
A ．B>60°
B ．B ≥60°
C ． B<60 °
D ．B ≤60°
6、满足 A=45,c= 6
,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为
（
）
A ． 4
B ． 2
C ． 1
D ．不定
7、如图： D,C,B 三点在地面同一直线上
,DC=a, 从 C,D 两点测得
A 点仰角分别是β
,
α (α <β),则 A 点离地面的高度
AB 等于 （
）
a sin sin asin
sin
A
A ．
)
B ．
)
sin(
cos(
D
C
B
C ．
a sin cos a cos sin
sin(
D ．
cos(
)
)
8、两灯塔 A,B 与海洋观察站
C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在C 北偏东
30°,B 在 C 南
偏东 60° ,则 A,B 之间的相距
（
）
A ． a (km)
B ．
3 a(km)
C ．
2 a(km)
D ． 2a (km)
二、填空题：
9、A 为
ABC 的一个内角 ,且 sinA+cosA=
7
ABC 是______ 三角形 .
, 则
12
10、在 ABC 中， A=60 °, c:b=8:5, 内切圆的面积为 12π,则外接圆的半径为 _____. 11、在
ABC 1
中，若 S ABC =
(a 2+b 2
－ c 2
),那么角∠ C=______.
4
12、在
ABC
31
中， a =5,b = 4,cos(A －B)=
,则 cosC=_______.
32
三、解答题： 13、在
ABC 中 ,求分别满足下列条件的三角形形状：
① B=60 ° ,b 2=ac ；② b 2tanA=a 2tanB ； ③ sinC=
sin A sin B
④ (a 2－ b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A － B).
cos A cos B
14、已知
ABC 三个内角
1 1
= －
2 A 、 B 、 C 满足 A+C=2B,
+
, 求
cos A
cosC
cos B
cos
A
C
的值.
2
15、二次方程ax2－ 2 bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以 b 为最长 .
①证明方程有两个不等实根；
②证明两个实根α,β都是正数；
③若 a=c,试求 |α－β |的变化范围 .
16、海岛O 上有一座海拨1000 米的山 , 山顶上设有一个观察站A, 上午11 时 ,测得一
轮船在岛北60°东 C 处 ,俯角30° ,11 时 10 分 ,又测得该船在岛的北60°西 B 处 ,俯角 60° .
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点 E 离岛多少千米？
参考答案
解三角形
一、 BDBBD AAC
二、（ 9）钝角（ 10）14
3（ 11）（ 12）1 348
三、（ 13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
cos 60 a 2c2b2a2 c 2b21 a 2c2ac ac( a c) 20 ，2ac2ac2
a c .由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形.②由
b 2 tan A a 2tan B b 2 sin A
cos A
a 2 sin B sin B cos A b2sin 2 B
sin Acos A sin B cos B,sin 2 A sin 2B, cos B sin A cosB a2sin 2 A
∴ A=B 或 A+B=90 °，∴△ ABC 为等腰△或 Rt△.③sin C sin A
sin B ，由正弦定理：
cos A cos B
c(cos A cos B)a b, 再由余弦定理：
a2b2 c 2a2 c 2 b 2
a b c
2bc
c
2ac
(a b)( c 2
a
22
)0,c
2
a
22
,ABC为Rt .④由条件变形为
sin( A B)a2 b 2
b b
sin( A B)a2b2
sin( A B)sin( A B)a2
,sin Acos B sin 2A
sin 2 A sin 2B,
或.
sin( A B)sin( A B)b2cos Asin B sin 2B ABAB90
∴△ ABC是等腰△或 Rt△.点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理
或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的
关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用.如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.
（14）分析：A C2B,B60,A C120再代入三角式解得 A或 C.解：
A C2B,180B2B,B60 .A C120 .
∴由已知条件化为：
1122.cos(120A)cos A22
cos(120A)
cos A
cos Acos(120A),设A C
, 则A60, C60.代入上式得：cos(60) 2
cos(60) 2 2 cos(60) cos(60) .化简整理得42 cos22cos3 2 0
( 2 cos2)( 22 cos3)0,cos2,即 cos A
C2.注：本题有多
222
种解法 . 即可以从上式中消去B、C 求出cosA，也可以象本例的解法 .还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试 .
（ 15）分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0 即可 .要证α，β为正数，只要证
明α β＞ 0 ，α + β＞ 0即可.解：① 在钝角△ ABC中，b边最长 . 1 cos B0且 b2 a 2c22ac cos B,(2b) 24ac2b 24ac
2(a2c22ac cosB) 4ac2(a c)24ac cos B0. （其中2( a c) 2
且4ac cos B0
∴方程有两个不相等的实根. ②2b
0,
c
0,∴两实根α、β都是正数 .
a a
2b
2b2
③ a=c 时， a ,() 2 a 222() 244
c a2
1
a
2(a 2 c 22ac cos B) 4a 2
4 cos B,1cos B0,0 4 cos B4,因此 0|| 2 .
a 2
（ 16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.
解：①如图：所示. OB=OA tan 303
(千米 )， OC 3 （千米）3
则 BC OB 2OC 22OB OC cos12013（千米）
3
船速 v 1310
39 （千米/小时）3
2
60
②由余弦定理得：cos OBC OB 2BC 2OC 2 5 13,sin EBO sin OBC
2OB BC26
1 (5 13)2339
,cos EBO
5 13
,sin OEB sin[180( EBO30 )]
262626
sin(EBO30 )sin EBO cos30cos EBO sin 3013 .
13
再由正弦定理，得OE=1.5 （千米），
BE 39 (),
BE
5
（分钟） . 6千米v
答：船的速度为 239 千米/小时；如果船的航速不变，它 5 分钟到达岛的正西方向，此时所在点 E离岛 1.5千米.。