第一章 函数与极限第一节 映射与函数1.填空题:（1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 x y = 对称.（2）函数21()1f x x =+-的定义域为__________________________；（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} .（4）设b ax x f +=)(，则=-+=h x f h x f x )()()(ϕ a .（5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x .（6）函数2xx e e y --=的反函数为 。

（7）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <12. 选择题:（1）下列正确的是：(B ，C )A.2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数.B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.C.⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x xx y 是x 的奇函数.D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. .（2）)sin()(2x x x f -=是( A ).A.有界函数；B. 周期函数；C. 奇函数；D. 偶函数.（3）设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ).A.1；B.–1；C.2；D.–2.（4）函数21arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .（5）函数⎩⎨⎧≤<+≤≤--=30,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）(A)04≤≤-x ； (B)30≤<x ;(C))3,4(-; (D){}{}3004≤<⋃≤≤-x x x x .（6）函数x x x y sin cos +=是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.（7）函数xx f 2cos 1)(π+=的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)21 .（8）函数21)(x xx f +=在定义域为（ ）(A)有上界无下界； (B)有下界无上界；(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且2122≤+≤-x x .（9）与2)(x x f =等价的函数是（ ）(A) x ； (B) 2)(x ； (C) 33)(x ； (D) x .3．设132)1(2--=-x x x g（1） 试确定c b a ,,的值使c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2 ；（2） 求)1(+x g 的表达式解. 352)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数)(1x f -.解：⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=-1,)1(0,01,1)(1x x x x x x f5．设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。

6．已知2sin )(,cos 1))((xx x x f =+=ϕϕ，求)(x f .解：)1(22x -；7．设()f x 的定义域是[]0,1，求下列函数的定义域：（1） ()x f e解：由010()x x e x f e ≤≤⇒≤⇒的定义域为(,0]-∞.（2） (ln())f x解：由0ln 11(ln )x x e f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[1,]e .（3） (arctan )f x解：由0arctan 10tan1(arctan )x x f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[0,tan1].（4） (cos )f x 解：由0cos 122,0,1,2,,(cos )22x n x n n f x ππππ≤≤⇒-≤≤+=±±⇒ 的定义域为[2,2],22n n n Z ππππ-+∈.8．设 -0,0(),0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，20,0(),0x g x x x ≤⎧=⎨->⎩，求[()],[()],[()],[()].f f x g g x f g x g f x解：0,()00,0[()](),()0,0f x x f f x f x f x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>>⎩⎩.20,()0[()](),()0g x g g x g x g x ≤⎧=⎨->⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0g g x =.0,()0[()](),()0g x f g x g x g x ≤⎧=⎨>⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0f g x =.220,()00,0[()]().(),()0,0f x x g f x g x f x f x x x ≤≤⎧⎧===⎨⎨->->⎩⎩.9.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f ，x e x g =)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形.解：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=010001)]([x x x x g f ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1111)]([1x e x x e x f g10.设220()0x x f x xx x ⎧≤=⎨+>⎩,求()f x -解： 22()0()()()0x x f x x x x⎧--≤-=⎨-+-->⎩即：220()0x x f x x x x ⎧≥=⎨-<⎩11．10()0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，2()1g x x =+。

求1()f x -，()()f g x ，()()gf x解：1()f x -=()f x ；()()f g x =211x +，22110(())10x g f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩12．1,1(),||11,1x f x x x x >⎧⎪=≤⎨⎪-<-⎩ 求()x f e -()x f e -=,01,0xe x x -⎧≥⎨<⎩13．设()f x 满足22()(1)f x f x x +-=，求()f x解：22()(1)f x f x x +-= （1）令1x t =- 得22(1)()(1)f t f t t -+=-22(1)()(1)f x f x x -+=- （2）由（1）和（2）得； 221()3x x f x +-=14．把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.解：设圆锥的半径与高分别为,r h ，则由图知2(2)r R ππα=⋅-，即 (2)2R r παπ-=. 从而12h π= 故2222211(2)133421(2)2.24R V r h παπππππααππ-==⋅⋅=-<<15．利用sin y x =的图形作出下列图形：（1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =；（3）2sin 2x y =.16．设[()]f g x 由(),()y f u u g x ==复合而成的，证明：（1） 若()g x 是偶函数，则[()]f g x 是偶函数。

（2） 若()f x 单调增加，()g x 单调减少，则[()]f g x 单调减少。

第二节 数列的极限1.填空题:（1） 设数列{}n x 的一般项n n x n 2cos π=，则=→∞n n x lim 0 .（3）=-+∞→)1(lim n n n 0 .（4）已知2235lim 2=-++→∞n bn an n ，则a = 0 ，b = 6 .（5）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内： 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的必要条件. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的充分条件.2．选择题:（1）若数列{}n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的项(B).A.必不存在；B.至多只有有限多个；C.必定有无穷多个；D.可以有有限个， 也可以有无限多个.（2）“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有ε2<-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的(D).A. 充分但非必要条件；B.必要但非充分条件；C. 既非充分也非必要条件；D.充分必要条件.（3）下列正确的是(B. D. )A.若数列{}n x 和}{n y 都发散，则数列{}n n y x +也发散.B.在数列{}n a 中任意去掉或增加有限项，不影响{}n a 的敛散性.C.发散数列必定无界.D.若从数列中可选出一个发散的子数列，则该数列必发散.3. 根据数列极限的定义证明:（1）525lim 212n n n →∞+=+；（2）1n →∞=.4. 若a u n n =∞→lim ，证明a u n n =∞→lim .并举例说明反之不成立.5. 设数列{}n x 有界，又0lim =∞→n n y ，证明:0lim =∞→n n n y x .第三节 函数的极限1．填空题:（1）设⎩⎨⎧>+≤=0,0,)(x b ax x e x f x ，则=+)0(f b ，=-)0(f 1 .当=b 1 时，1)(lim 0=→x f x . （2）设11+=x y ，当→x ∞ 时，y 是无穷小量， 当→x –1 时，y 是无穷大量。

（3）A x f x x =→)(lim 0，当且仅当A x f -)(是无穷小 .（4）)(x f 当0x x →时的右极限)(0+x f 及左极限)(0-x f 都存在且相等是)(lim 0x f x x →存在的 充分必要 条件. （5）在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 为 无穷小 . （6）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：()f x 在0x 的某一去心邻域内有界是0lim ()x x f x →存在的必要条件. 0lim ()x x f x →存在是()f x 在0x 的某一去心邻域内有界的充分条件.()f x 在0x 的某一去心邻域内无界是0lim ()x x f x →=∞的必要条件. 0lim ()x x f x →=∞是()f x 在0x 的某一去心邻域内无界的充分条件.()f x 当0x x →时的右极限0()f x +及左极限0()f x -都存在且相等是0lim ()x x f x →存在的充分必要条件.2．选择题:（1）若)(lim 0x f x x →存在，则(A ). A.)(x f 必在0x 的某一去心邻域内有界； B.)(x f 在0x 的某一邻域内一定无界；C.)(x f 必在0x 的任一邻域内有界；D.)(x f 在0x 的任一邻域内无界（2）若a x f x x =→)(lim 0，则( C ). A.)(x f 在0x 的函数值必存在且等于a ；B.)(x f 在0x 的函数值必存在但不一定等于a ；C.)(x f 在0x 的函数值可以不存在；D.如果)(x f 在0x 的函数值存在，则a x f =)(0.（3）下列正确的是：(D. ).A. 无界变量必为无穷大.B.若0)(>x f 且A x f x x =→)(lim 0，则必有0>A . C.若A x f x x =→)(lim 0，且0>A ，则在0x 的某邻域内，恒有0)(>x f .D. 无穷大必为无界变量.（4）0||lim x x x →=（ ）A.1；B.-1；C.0；D.不存在.（5）当0x →时，变量11sin x x 是（ ）A.无穷小量B.无穷大量C.有界但非无穷小量D.无界但非无穷大量(6)设0()lim 1x f x x →=，则存在0δ>，当0(0,)x U δ∈时有（ C ）成立。