经典例题透析
类型一、求函数解析式
例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ .
解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数，
所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\.
当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数；
当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + «)上为常数函数，不合题意，舍去.
故所求幕函数为y = x-3.
总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键.
类型二、比较幕函数值大小
例2.比较下列各组数的大小.
4 4 _ 3 _ 3
(1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^.
4 4_4
解：⑴由于幕函数y = •亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，・・・3.14万 > 兀了.
_3
(2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.・•・f (-x) =-f (x)
—_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血
3 3 3 3 3 3
・・・(血戸 >"门即(一血门v(
总结升华.
(1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三
【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小.
思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0・8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小.
解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 ,
.•,0.805 <0.905.
作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖，
易知0.严< 0.9心.
故 0.胛 vO.9°5 <0.9心.
例3.已知幕函数y = f y = y = y = 在第一象限内的图象
分别是G, C 2, C 3, G,（如图），则m, n 2, n ：“ m, 0, 1的大小关系？
解:应为 ni<n 2<0<n 3<l<n4.
总结升华：对于幕函数y = x a （aeR ）的图象，其函数性质的正确把握主要来源 于对图
象的正确处理，而幕函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布; 反过来，也
能通过第一彖限的图彖判断指数的取值范围.
举一反三
ABC
思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断.
解:取W 则尸知*，选项B, D 符合；取归,则尸1,选项B 符合题意.
类型三、求参数的范围
例4•已知幕函数y = x m2（rneN ）的图象与兀y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求加的值，并画出它 的图象.
解：图象与上y 轴都无交点，/.zn-2<0,即m<2.
又 m G N , m = 0/h2 .
幕函数图彖关于y 轴对称，
/. m = 0 ,或 m = 2 .
当加=0时，函数为y = 图象如图1；
图1
图2
举一反三 【变式一】若（a + l ）-2〉（3 —2d ）_2,求实数a 的取值范围.
解法1:・・・仗+ 1）「2 >（3-2订2,考察y = 的图象，得以下四种可能情况
:
1
总结升华.
以上两种另法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征 有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
【变式二】当m 为何值时，幕函数y 二(n?-5m+6)丹5”-3的图象同时通过点(°, 0)和(1, 1).
解：V y= (m 2-5m+6) x m ~2,n ~3 是幕函数..*.m 2-5m+6=l.得:m- ~ , 2
又•・•函数图象过(0, 0)和(1, 1)点，.-.m 2-2m-3>0,得m>3或水-1,
类型四、讨论函数性质
例5.求函数y 二。

+2)；的定义域.
(3-XP
解:原函数可化为 y 二 十+ 2 |X + 2~°.\xe[-2, 3) U (3, +-).
V (3-x)2〔3-2 0
总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视. _3 例6.讨论函数y = (x 2 -2兀-3厂的单调性.
解：y =(兀2 _2X _3) A 可看作是由y = u 4与U =X 2-2X -3复合而成，
_3
y = u 4 中，uw (0, +8)..・.X 2-2X -3>0,得到 x>3 或 x<T.
当x>3时,Vu= (X -1)2-4,・：随着x 的增大u 增大,
_3
又•: y = u^在定义域内为减函数，・・・y 随着u 的增大而减小，
_ 3
即xe (3, + oo)时，y = (x 2-2x-3)~^是减函数，而XG (-OO ,-1)时，原函数为增函数. 总结升华：
1•复合函数的讨论一定要理清x, u, y 三个变量的关系.
2.对于这样的幕函数与二次函数的复合，要先考虑幕函数的定义域对自变量x 的限制.
举一反三
3-2。

>0
(1) < a + 1 > 0 3 — 2G > G + 1 3-2。

vO (2)^ + 1 <0 3 — 2G V G + 1 3 — 2ci 〉0
⑶ £ + 1 vO 3 — 2d 〉一(G + 1) 3 — 2d < 0 ⑷ v 1 + Q 〉0 —(3 — 2d) > G + 1 2
分别解得：(1)-1<6Z<-. (2)无解.(3)dV —1. (4)a 〉4.
3
(2、
「•Q 的取值范围是(—8, — 1) —1,— (4, +00).
解法2：画出丿=厂2的图象，认真观察图象，可得:越接近y 轴，y 值越大，B|J|x| 越
小，y 值越大，
Q + 1 工0
・・・ 要 使(G + 1) 2 >(3 —2a)', 即 <3 — 20^0 , 解
| a +11<| 3 — 2a |
(4, + oo).
乎冶去)
【变式一】讨论函数/(x) = x w2+w+,(meN*)的定义域、奇偶性和单调性. 解：(1) m2 + m = +l)(m G N*)是正偶数，
m2 +加+1是正奇数.
・•・函数/(兀)的定义域为R.
(2)m2 +m + l是正奇数，
] ]
/(-X)= (~x)m2+m+] = -x,fl2+ni+[ = -f(x),且定义域关于原点对称. /. /(%)是R上的奇幣数.
1 9
(3) ------------ >0 ,且+ m +1是正奇数，
nT + 加 + 1
・•・函数/(X)在(-oo,+ 8)上单调递增.。