专题07 平面向量的线性运算及其应用（高考押题） 2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)【答案】C 【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD →【答案】B 【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－32 【答案】A 【解析】由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A. 5．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( ) A ．－32B ．32C.32D ．3【答案】C 【解析】由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2]D ．(－1,0)【答案】B 【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4B ．－4C.94 D ．－948．如图3­3，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )图3­3A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49【答案】B 【解析】∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【答案】A 【解析】因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4， 所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________. 【答案】2【解析】由题意得|a |＝12＋32＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →·BD →＝________.【答案】－312．在如图3­2所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则xy 的值为________．图3­2 【答案】65【解析】设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x－2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2x －2y ＝1，λx －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.13．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 【答案】712【解析】∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.14．已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →·OC →＝__________. 【答案】－1615．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.4分 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.6分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，9分当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分17．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f (x )＝a·b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在0,2π]上的单调递增区间．解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3，4分 由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1.6分(2)易知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，8分故2x ＋π6∈π，2π]或2x ＋π6∈3π，4π]时，函数f (x )单调递增，10分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.12分 18．已知△ABC 的周长为6，|BC →|，|CA →|，|AB →|成等比数列，求： (1)△ABC 面积S 的最大值； (2)BA →·BC →的取值范围．19.已知向量a ＝⎝⎛cos 32x ，⎭⎫sin 32x ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.求：(1)a·b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a·b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值． 解 (1)a·b ＝cos 32x ·cos x 2－ sin 32x sin x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫32x ＋x 2＝cos 2x ，|a ＋b |2＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋ ⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22＝2＋2cos 2x ＝4cos 2x ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ≥0， ∴|a ＋b |＝2cos x .20．向量a ＝(2，2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a·b ＝－2. (1)求向量b ；(2)若t ＝(1，0)，且b ⊥t ，c ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2 C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围． 解 (1)设b ＝(x ，y )，则a·b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a·b|a|cos 3π4＝1＝x 2＋y 2.∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. ∴b ＝(－1，0)或b ＝(0，－1)． (2)∵b ⊥t ，且t ＝(1，0)， ∴b ＝(0，－1)．∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3.∴b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2 C 2－1 ＝(cos A ，cos C )． ∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2C ) ＝1＋12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫4π3－2A＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A －12cos 2A －32sin 2A＝1＋12cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3.∵2A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3<12，∴12≤|b ＋c |2<54，∴22≤|b ＋c |<52.21．已知向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. (1)若|a －b |＝2，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的值域．解 (1)因为a －b ＝(3sin x －cos x ，0)，所以|a －b |2＝(3sin x －cos x )2＝4，所以3sin x －cos x ＝±2即sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝±1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以x ＝2π3. (2)因为f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤5π6，11π6，所以当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时， f (x )]max ＝1,当2x －π6＝3π2，即x ＝5π6时， f (x )]min ＝－12，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1.。