跟踪练习
1.已知数列{an}分别满足下列条件，写出它的前五项，并归 纳出各数列的一个通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； 2an (2)a1＝1，an＋1＝ . an＋2
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2× 1－1)＝1， a3＝a2＋(2× 2－1)＝4， a4＝a3＋(2× 3－1)＝9， a5＝a4＋(2× 4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
列不存在通项公式．
4．递推公式 递推公式是给出数列的一种重要方法， 是指已知数列{an} 的第一项 ( 或前几项 ) 及相邻两项 ( 或几项 ) 间关系可以用一个 公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出 a1 或 a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项． 注意 并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存
an (2)∵bn＝ ，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5， an＋1 a5＝8， a1 1 a2 2 ∴b1＝ ＝ ，b2＝ ＝ ， a2 2 a3 3 a3 3 a4 5 b3 ＝ ＝ ， b4 ＝ ＝ . a4 5 a5 8 1 2 3 5 即数列{bn}的前 4 项依次为 ， ， ， . 2 3 5 8
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ [( － )＋( － )＋…＋( － )＋(1－ )]＋ 2 n－1 n＋1 2 4 3 n－2 n 1 1 1 1 1＝2(－ － ＋ ＋1)＋1 n＋1 n 2 7n2＋3n－2 ＝ (n∈N*)． 2 4n ＋4n
2.已知平面内两直线最多有 2 个交点，3 直线最多 3 个交点， 4 直线最多 6 个交点，依次记为 a2 1 ， a3 3 ， a4 6 ， （1） 请写出 an 与 a n1 的递归关系； （2）求 a8 ； （3）你能求出 an ？
易错点： 对于数列{an}， 若第 n
an≥an－1， 项最大，则 an≥an＋1， an>an－1， 而不是 an>an＋1.
例题讲解
题型六 用累乘法求数列的通项公式 例 6.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的 前 4 项，猜想 an，并加以证明．
1 1 1 1 ＝ n(n 1) ＋ (n 1)(n 2) ＋…＋ ＋ ＋1 3× 2 2× 1
1 1 1 1 1 1 1 ＝( － )＋ ( － )＋…＋( － )＋(1－ )＋1 2 3 2 n－1 n n－2 n－1 1 2n－1 ＝2－n＝ n (n∈N*)．
跟踪练习
1 1. 若把本例中“an ＝ an － 1 ＋ (n≥2)”改为“an ＝ an － 1 nn－1 ＋ 1 (n≥2)”其他不变，如何求数列的前 5 项与 n－1n＋1
跟踪练习
1. 已 知 函 数 f ( x) log2 x logx 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2 an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
2 2. 数列{an}满足 an n kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
1 3 解：(1)a1＝1；a2＝a1＋ ＝ ； 2× 1 2 1 5 1 7 a3＝a2＋ ＝ ；a4＝a3＋ ＝ ； 3× 2 3 4× 3 4 1 9 a5＝a4＋ ＝ . 5× 4 5
1 (2)由 an＝an－1＋ n(n 1) 得
1 an－an－1＝ n(n 1) (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
1 (1) n 1 an 4 2
9 (1) n1 5，n为奇数， 或an＝ . 2 4，n为偶数

跟踪练习
1. 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1)1,4,9，( 1 (2)1， ，( 3 )，25,36； 1 1 )， ， ； 7 9 1 1 )， ，－ ； 2× 4 2× 5 5 )， ，( 32 1 )， . 4 )；
n 2013 a 3. 数列{an}满足 n n 2014 ，则最大项和最小项分别是
__________。
例题讲解
题型五 用累加法求数列的通项公式 例 5. 已知数列 {an} ， a1 ＝ 1 ，以后各项由 an ＝ an － 1 ＋ 1 (n≥2)给出． nn－1 (1)写出数列{an}的前 5 项； (2)求数列{an}的通项公式．
例题讲解
题型四 单调性分析 9n· n＋1 * 例 4. 已知 an＝ ( n ∈ N )， 则数列{an}中有没有最 n 10 大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． [错解] 设 an 最大(n≥2)，
n n＋1 9n－1· n 9 · 10n > n－1 ， 10 an>an－1， 则 即 n an>an＋1， 9 · n＋1 9n＋1· n＋2 > ， n n 1 10 10 ＋
n
n
1 n＋
.
(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0.9999＝1
－ － － － －0.0001，而 0.1＝10 1,0.01＝10 2,0.001＝10 3,0.0001＝10 4，
2 － ∴它的一个通项公式为 an＝ 3 (1－10 n)
(4)这个数列前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 5， 偶数项是 4. 所以，它的一个通项公式为
1 1 (3)－ ， ，( 2× 1 2× 2 1 1 3 (4) ，－ ， ，( 2 2 8 2 1 (5)1， ， ，( 2 2
答案 (1)16 (2) 1 5
1 (3)－ 2× 3 1 (4)－ 4 2 (5) 4 － 3 32
例题讲解
题型二 数列通项公式的应用 例 2. 已知数列 2， 5，2 2， 11，… (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
2an (2)∵a1＝1，an＋1＝ ， an＋2 2 1 2 1 ∴a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ . 3 2 5 3 2 1 2 1 2 它的前五项依次为 1， ， ， ， ， 因此该数列可写成 ， 3 2 5 3 1＋ 1 2 2 2 2 ， ， ， ，… 2＋1 3＋1 4＋1 5＋1 2 故它的一个通项公式为 an＝ . n＋1
2.1 数列概念和表示
新课讲解
1.数列的概念 数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序 有关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为 a1， a2，…或记为{an}． 注意 判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和
项是否相同．
2．数列的分类 按数列中项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列，其 中项数是有限项的数列为有穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n}；项数为无限项的数列为无穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n，…}． 按数列中相邻两项间的大小关系可分为递增数列，递减 数列，常数列，摆动数列． 注意 判断一个数列属哪一类型的数列，要搞清概念，
通项公式 an?
解：∵a1＝1， 1 an＝an－1＋ (n≥2)， n－1n＋1 1 4 1 35 ∴a2＝a1＋ ＝ ；a3＝a2＋ ＝ ； 1×3 3 2×4 24 1 61 1 47 a4＝a3＋ ＝ ；a5＝a4＋ ＝ . 3×5 40 4×6 30 1 又an－an－1＝ n－1n＋1 1 1 1 ＝ ( － )(n≥2)， 2 n－1 n＋1
解：(1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现， “ ”下面的数值后一项比前一项大 3，故通项公式可写为 n－1 × 3＝ 3n－1，即 an＝ 3n－1.
an＝ 2＋
a20＝ 3× 20－1＝ 59.
(2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 101 * 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝ ∉ N ， 3 ∴10 不是该数列的项．
在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几 项寻求递推关系，递推公式可能不止一个.
5．求和公式
S n a1 a2 ... an
S (n 1) 1 an S n S n 1 (n 2)
1. 分别写出下列数列的一个通项公式， 数列的前 4 项 已给出． 22－1 32－1 42－1 52－1 (1) ， ， ， ，…； 2 3 4 5 1 1 1 1 (2)－ ， ，－ ， ，…； 2 6 12 20 (3)0.6, 0.66, 0.666, (4)5,4,5,4，…. 0.6666，…；
解得 8<n<9. 又因为 n∈N*，所以 n 不存在， 故数列{an}中没有最大项． [错因分析] 若
an>an－1， 是 an>an＋1， an≥an－1， an 最大(n≥2)，则应有 an≥an＋1，
而不
因为有可能 an 与 an－1 或 an＋1 同时最大．
[正解]
利用各类数列的要求判断．
3．通项公式 如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中 的 n 就可以求出数列中的指定项， 如果给出数列中的前几项， 也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归 纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立， 并不知道． 注意 一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数
跟踪练习
1.已知数列{an}的通项公式 an＝2n2－n. (1)写出这个数列的第 4 项和第 6 项； (2)试问 45 是否是{an}中的项，3 是否是{an}中的项？