北京工业大学2009-20010学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛
骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。

可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

考试日期：2009年12月31日
一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？
解：这是单个正态总体
),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.
解 85:0=μH ，85:1≠μH
选统计量 n s x T /0
μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=
31
.328/885
80=-=
查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝
0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为
该班的英语成绩为85分.
050.=
解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ
在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。

则}{k X P =有估计
=i p ˆΛΛ,7,0,
!2}{ˆ2
===-k k e k X P k
=0ˆp
三、某公司在为期10年内的年利润表如下：
(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：
α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取（取05
=
.0
α）。

=
0.
05
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：
在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取α, 计算结果保留三位小数。

显著性水平05
.0
=
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。

（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；
（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。

六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，
一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；
（2）求}1|3{2==+n n X X P ；
（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。

七、设X(t)是平稳随机过程，若)
X
t
t
Yπ，其中Θ是在)
,0(π上
2
=t
cos(
2
+
)
(
(Θ
)
服从均匀分布的随机变量且与X(t)独立，问)
Y是否是平稳随机过程？
(t
标准答案（仅供参考）
一．这是单个正态总体
),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.
解 85:0=μH ，85:1≠μH
选统计量 n s x T /0
μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=
31
.328/885
80=-=
查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝
0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为
该班的英语成绩为85分.
七．解：设)(,)(τμx x R c t =，
)]2[cos()()]([)(Φ+∏==t E t t Y E t X Y μμ
0)2cos(2120=+∏=⎰∏θθd t
τ
τττ∏=-=-∏⋅=Θ++∏+-∏==2cos )()(2cos 2
1)(]}2)(2cos[21)(2cos 21{),()]
()([),(X X X Y R t s s t R s t s t E s t R s Y t Y E s t R 其中 所以，是平稳随机过程
五 解： （}1|3{2==+n n X X P =1/8。

中无零元，所以遍历3)3(P 。

⎩⎨⎧=+++=1
),,,(),,,(.432143214321ππππππππππππP 的解，具体求解略平稳分布为以下方程组 解得平稳分布为7/1,7/24321====ππππ。