高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数． 【热点题型】题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1、写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3333，….解 (1)各项减去1后为正偶数，所以an ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an ＝⎩⎨⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an ＝13(10n －1)． 【提分秘籍】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【举一反三】(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an ＝________.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an ＝________. 答案 (1)(－1)n·(6n －5) (2)2n ＋1n2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an ＝2n ＋1n2＋1.题型二由数列的前n 项和Sn 求数列的通项例2 已知下面数列{an}的前n 项和Sn ，求{an}的通项公式： (1)Sn ＝2n2－3n ； (2)Sn ＝3n ＋b.【提分秘籍】数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.当n ＝1时，a1若适合Sn －Sn －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项an ；当n ＝1时，a1若不适合Sn －Sn －1，则用分段函数的形式表示．【举一反三】已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n2－2n ＋1，则其通项公式为________________．题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋n ＋1，则通项an ＝________. (2)数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为an ＝________. (3)在数列{an}中，a1＝1，前n 项和Sn ＝n ＋23an ，则{an}的通项公式为________．(2)方法一 (累乘法)an ＋1＝3an ＋2，即an ＋1＋1＝3(an ＋1)， 即an ＋1＋1an ＋1＝3，所以a2＋1a1＋1＝3，a3＋1a2＋1＝3，a4＋1a3＋1＝3，…，an ＋1＋1an ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得an ＋1＋1a1＋1＝3n.因为a1＝1，所以an ＋1＋11＋1＝3n ，即an ＋1＝2×3n －1(n≥1)， 所以an ＝2×3n －1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an ＝2×3n －1－1.(3)由题设知，a1＝1.当n>1时，an ＝Sn －Sn －1＝n ＋23an －n ＋13an －1. ∴an an －1＝n ＋1n －1. ∴an an －1＝n ＋1n －1，…，a4a3＝53， a3a2＝42，a2a1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘， 得到an a1＝n n ＋12， 又∵a1＝1，∴an ＝n n ＋12. 【提分秘籍】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an ＝an －1＋m 时，构造等差数列；当出现an ＝xan －1＋y 时，构造等比数列；当出现an ＝an －1＋f(n)时，用累加法求解；当出现an an －1＝f(n)时，用累乘法求解．【举一反三】(1)已知数列{an}满足a1＝1，an ＝n －1n ·an －1(n≥2)，则an ＝________. (2)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2an －1(n ∈N*)，则a5等于( ) A ．－16B ．16C ．31D ．32 答案 (1)1n (2)B【高考风向标】【高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于.【答案】27【解析】∵2≥n 时，21,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项，21为公差的等差数列 ∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.(1)令cn ＝anbn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.【解析】(1)因为anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0，bn≠0(n ∈N*)，所以an ＋1bn ＋1－anbn ＝2，即cn ＋1－cn ＝2，所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故cn ＝2n －1.(2)由bn ＝3n －1，知an ＝(2n －1)3n －1，于是数列{an}的前n 项和Sn ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3Sn ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2Sn ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以Sn ＝(n －1)3n ＋1.2．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．(1)证明：an ＋2－an ＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．3．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.【解析】(1)由an ＋1＝3an ＋1得an ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫an ＋12. 又a1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以an ＋12＝3n2，因此数列{an}的通项公式为an ＝3n －12.(2)证明：由(1)知1an ＝23n －1. 因为当n≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1an ＝23n －1≤13n －1.于是1a1＋1a2＋…＋1an ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32.所以1a1＋1a2＋…＋1an <32.4．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论． 【解析】(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1. 再由题设条件知(an ＋1－1)2＝(an －1)2＋1.从而{(an －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an －1)2＝n －1，即an ＝n －1＋1(n ∈N*)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即ak ＝k －1＋1，则ak ＋1＝（ak －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以an ＝n －1＋1(n ∈N*)．(2)方法一：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)． 令c ＝f(c)，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题 a2n<c<a2n ＋1<1.当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<14<a3<1，结论成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a2k<c<a2k ＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f(c)>f(a2k ＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k ＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f(c)<f(a2k ＋2)<f(a2)＝a3<1，故c<a2k ＋3<1，因此a2(k ＋1)<c<a2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 综上，存在 c ＝14使a2n<C<a2a ＋1对所有n ∈N*成立． 方法二：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)． 先证：0≤an≤1(n ∈N*)． ① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1.即0≤ak ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n<a2n ＋1(n ∈N*)． ②当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2<a3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a2k<a 2k ＋1. 由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得 a2k ＋1＝f(a2k)>f(a2k ＋1)＝a2k ＋2， a2(k ＋1)＝f(a2k ＋1)<f(a2k ＋2)＝a2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N*成立． 由②得a2n<a22n －2a2n ＋2－1， 即(a2n ＋1)2<a22n －2a2n ＋2， 因此a2n<14.③又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n ＋1)，即a2n ＋1>a2n ＋2. 所以a2n ＋1>a22n ＋1－2a2n ＋1＋2－1，解得a2n ＋1>14.④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a2n<c<a2n ＋1对一切n ∈N*成立．5．（·安徽卷）如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An ，…和B1，B2，…，Bn ，…分别在角O 的两条边上，所有AnBn 相互平行，且所有梯形AnBnBn ＋1An ＋1的面积均相等，设OAn ＝an ，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．图1－3【答案】an ＝3n －26．（·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列{}an 的四个命题： p1：数列{}an 是递增数列； p2：数列{}nan 是递增数列；p3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是递增数列；p4：数列{}an ＋3nd 是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p1，p2B ．p3，p4C ．p2，p3D ．p1，p4 【答案】D【解析】因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an ＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.7．（·全国卷）等差数列{an}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．【解析】设{an}的公差为d.由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4. 又S1＝a2－d ，S2＝2a2－d ，S4＝4a2＋2d ， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)． 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d ＝0， 此时Sn ＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d ＝0或d ＝2.因此{an}的通项公式为an ＝3或an ＝2n －1. 【高考押题】1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an 等于( ) A.－1n ＋12B ．cos nπ2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π 答案 D解析 令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确．2．已知数列{an}中，a1＝1，若an ＝2an －1＋1(n≥2)，则a5的值是( ) A ．7B ．5C ．30D ．31 答案 D解析 由题意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31. 3．若数列{an}的通项公式是an ＝(－1)n(3n －2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( ) A ．15B ．12C ．－12D ．－15 答案 A解析 由题意知，a1＋a2＋…＋a10 ＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.4．若Sn 为数列{an}的前n 项和，且Sn ＝n n ＋1，则1a5等于( ) A.56B.65C.130D ．30答案 D解析 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，所以1a5＝5×6＝30. 5．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1an ＝2n(n ∈N*)，则a10等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8答案 B6．若数列{an}满足关系：an ＋1＝1＋1an ，a8＝3421，则a5＝________.答案 85解析 借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝2113，a6＝138，a5＝85.7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n ∈N*，都有a1·a2·a3·…·an ＝n2，则a3＋a5＝________.答案 6116解析 由题意知：a1·a2·a3·…·an －1＝(n －1)2，∴an ＝(n n －1)2(n≥2)，∴a3＋a5＝(32)2＋(54)2＝6116. 8．已知{an}是递增数列，且对于任意的n ∈N*，an ＝n2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n ∈N*，都有an ＋1>an ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n2＋λn ，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n；因为a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。