2015 年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（ 5 分）（ 2015?四川）设集合A={x| （ x+1 ）（ x﹣ 2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ，则 A ∪B= （）A ． { x|﹣ 1＜ x＜ 3}B ． { x|﹣ 1＜x＜ 1}C． { x|1＜ x＜ 2} D ． { x|2＜ x＜ 3}考点：并集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求解不等式得出集合A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，根据集合的并集可求解答案．解答：解：∵集合 A={x| （x+1 ）（ x﹣2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ，∴集合 A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∵A∪ B={x| ﹣ 1＜ x＜ 3} ，故选： A点评：本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．2．（ 5 分）（ 2015?四川）设 i 是虚数单位，则复数i 3﹣ =（）A ．﹣ iB ．﹣3i C． i D ． 3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：通分得出，利用 i 的性质运算即可．解答：解：∵ i 是虚数单位，则复数 i 3﹣，∴===i ，故选； C点评：本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．3．（ 5 分）（ 2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）A ．B ．C．﹣ D ．﹣考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当 k=5 时满足条件k＞ 4，计算并输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞ 4， k=3不满足条件k＞ 4， k=4不满足条件k＞ 4， k=5满足条件k＞ 4，S=sin=，输出 S的值为．故选： D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．4．（ 5 分）（ 2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A ．）B．y=sin （2x+ ）y=cos（ 2x+C． y=sin2x+cos2x D ． y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．解答：解：y=cos （ 2x+ ）=﹣ sin2x ，是奇函数，函数的周期为： π，满足题意，所以 A 正确y=sin （ 2x+） =cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以 B 不正确；y=sin2x+cos2x= sin （ 2x+ ），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以 C 不正确；y=sinx+cosx= sin （x+），函数是非奇非偶函数，周期为 2π，所以 D 不正确；故选： A ．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．5．（ 5 分）（ 2015?四川）过双曲线 x 2﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的 两条渐近线于 A 、B 两点，则 |AB|= （）A ．B ． 2C ． 6D ． 4考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出双曲线的渐近线方程，求出 AB 的方程，得到 AB 坐标，即可求解 |AB| ．解答：解：双曲线 x 2﹣=1 的右焦点（ 2， 0），渐近线方程为 y= ，过双曲线 x 2﹣=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线， x=2，可得 y A =2， y B =﹣ 2 ，∴ |AB|=4 ． 故选： D ．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．6．（ 5 分）（ 2015?四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数， 其中比 40000 大的偶数共有（ ）A ．144 个B ．120 个C ．96 个D ．72 个考点 ：排列、组合及简单计数问题． 专题 ：应用题；排列组合．分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、 5 其中 1 个，末位数字为 0、 2、 4 中其中 1 个；进而对首位数字分 2 种情况讨论， ① 首位数字为 5 时， ② 首位数字为4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5 其中 1 个，末位数字为 0、2、4中其中 1个； 分两种情况讨论：① 首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A 4 3=24 种情况，此时有 3×24=72 个，② 首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A 43=24 种情况，此时有 2×24=48 个，共有 72+48=120 个． 故选： B点评：本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．7．（ 5 分）（ 2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形， | |=6， ||=4，若点 M 、 N 满足，，则 =（）A ．20B ．15C ． 9D ． 6考点 ：平面向量数量积的运算． 专题 ：平面向量及应用．分析：根据图形得出 = + = ，==，= ?（） =2﹣，结合向量结合向量的数量积求解即可．解答：解： ∵四边形 ABCD 为平行四边形，点 M 、N 满足，，∴ 根据图形可得： = + =，==，∴ =，∵= ?（） =2﹣，2=22，=22，| |=6， ||=4，∴=22=12﹣ 3=9故选： C点评：本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．8．（ 5 分）（ 2015?四川）设 a 、b 都是不等于 1 的正数，则 “3a ＞ 3b＞3”是 “log a 3＜log b 3”的（ ） A ．充要条件 B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题 ：简易逻辑．分析：求解 3a ＞ 3b＞ 3，得出 a ＞ b ＞ 1，log a 3＜log b 3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．解答：解： a 、b 都是不等于 1 的正数，ab∵ 3 ＞3 ＞3， ∴ a ＞ b ＞1，∵ log a 3＜ log b 3，∴，即＜ 0，或求解得出： a ＞ b ＞ 1 或 1＞ a ＞ b ＞ 0 或 b ＞ 1， 0＜ a ＜ 1根据充分必要条件定义得出： “3a ＞ 3b＞ 3”是 “log a 3＜ log b 3”的充分条不必要件， 故选： B ．点评：本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．9．（ 5 分）（ 2015?四川）如果函数 f （x ） = 2（ m ≥0，n ≥0）在区间 （m ﹣2） x +（n ﹣ 8）x+1 [ ] 上单调递减，那么 mn 的最大值为（）A ．16B ．18C ． 25D ．考点 ：基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题 ：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：函数 f （ x ）=（m ﹣ 2） x 2+（n ﹣ 8）x+1（ m ≥0，n ≥0）在区间 [ ] 上单调递减，则f ′（ x ）≤0，故（ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8≤0 在[，2]上恒成立．而（ m ﹣ 2）x+n ﹣8 是一次函数，在 [ ， 2] 上的图象是一条线段．故只须在两个端点处 f ′（ ） ≤0， f ′（ 2） ≤0 即可．结合基本不等式求出 mn 的最大值．解答： 解： ∵ 函数 f （ x ） = （ m ﹣ 2）x 2+（ n ﹣ 8） x+1（ m ≥0， n ≥0）在区间 [ ] 上单调递减，∴ f ′（ x ）≤0，故（ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8≤0 在 [ ，2] 上恒成立．而（ m ﹣ 2） x+n ﹣ 8 是一次函数，在 [ ，2] 上的图象是一条线段． 故只须在两个端点处 f （′ ）≤0，f （′2）≤0 即可．即由（ 2）得 m ≤ （ 12﹣ n ），∴ mn ≤ n （ 12﹣n ） ≤=18 ，当且仅当 m=3，n=6 时取得最大值，经检验 m=3，n=6 满足（ 1）和（ 2）． 故选： B ．解法二：∵ 函数 f （x ） = （ m ﹣ 2） x 2+（ n ﹣ 8）x+1 （ m ≥0， n ≥0）在区间 []上单调递减，∴ ① m=2， n ＜8对称轴 x= ﹣，②即③即设或 或设 y=，y′=，当切点为（ x0， y0）， k 取最大值．① ﹣=﹣ 2． k=2x，∴y0 =﹣2x 0+12 ， y0==2x 0，可得 x0 =3， y0=6 ，∵x=3＞ 2∴k 的最大值为 3×6=18② ﹣=﹣．，k=，y0==，2y 0+x 0﹣ 18=0，解得： x0=9， y0=∵x0＜ 2∴ 不符合题意．③ m=2， n=8， k=mn=16综合得出： m=3， n=6 时 k 最大值 k=mn=18 ， 故选； B点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．10．（ 5 分）（2015?四川）设直线 l 与抛物线 y 2=4x 相交于 A 、B 两点，与圆（ x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围 是（）A ．（ 1，3）B ．（1， 4）C ．（2，3）D ．（ 2，4）考点 ：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题 ：综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先确定 M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2 ，所以交点与圆心 （ 5，0）的距离为 4，即可得出结论．解答：解：设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）， M （ x 0， y 0），斜率存在时，设斜率为 k ，则 y 12=4x 1，y 22=4x 2，则，相减，得（ y 1+y 2）（ y 1﹣ y 2）=4（ x 1﹣x 2），当 l 的斜率存在时，利用点差法可得 ky 0=2 ，因为直线与圆相切，所以 =﹣ ，所以 x 0=3，即 M 的轨迹是直线 x=3 ．22，将 x=3 代入 y =4x ，得 y =12， ∴∵M 在圆上， ∴， ∴ r 2=，∵ 直线 l 恰有 4 条， ∴y 0≠0， ∴4＜ r 2＜ 16， 故 2＜ r ＜ 4 时，直线 l 有 2 条；斜率不存在时，直线 l 有 2 条；所以直线 l 恰有 4 条， 2＜ r ＜ 4，故选： D ．点评：本题考查直线与抛物线、 圆的位置关系， 考查点差法， 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分。