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数学试卷 第2页（共24页）
数学试卷 第3页（共24页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（理
科）
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A
B = （ ）
A ．{|13}x x -<<
B ．{|11}x x -<<
C ．{|12}x x <<
D ．{|23}x x <<
2．设i 是虚数单位，则复数3
2
i i
-=
（ ）
A ．－i
B ．－3i
C ．i
D ．3i
3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为
（ ）
A ．3
2- B ．32 C ．12
-
D ．12
4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是
（ ）
A ．πcos(2)2
y x =+ B ．πsin(2)2
y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+
D ．sin cos y x x =+
5．过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =
（ ）
A ．43
3
B ．23
C ．6
D ．43
6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有
（ ）
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
7．设四边形ABCD 为平行四边形，||=6AB ，||=4AD .若点M ，N 满足=3BM MC ，DN
=2NC ，则AM NM = （ ）
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
8．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的
（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
9．如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --（≥，≥）
在区间1
[,2]2
上单调递减，那么mn 的最大值为
（ ）
A ．16
B ．18
C ．25
D ．
812
10．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.
第Ⅱ卷共11小题.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是_________（用数字填写答案）. 12．sin15+sin75的值是_________.
13．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y =
e kx b +（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间
是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.
14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段
PQ 上，E ，F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ 的最大值为_________.
15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设
1212()()f x f x m x x -=
-，1212
()()
g x g x n x x -=-.
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；
（2）对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；
（4）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）. 2
2
13
y x -=---------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效-------
---------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共24页）
数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1
|1| 1 000
n T -<成立的n 的最小值.
17．（本小题满分12分）
某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. （Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .
（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值.
19．（本小题满分12分）
如图A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （Ⅰ）证明：1cos tan
2sin A A
A
-=
； （Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tan
tan 22
A B
++tan
tan 22
C D
+的值. 20．（本小题满分13分）
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学答
案解析
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足3
BM MC
=，2
DN NC
=，∴根据图形可得：
33
44
AM AB BC AB AD
=+=+
，
22
33
AN AD DC AD AB
=+=+，∴NM AM AN
=-，
∵2
()
AM NM AM AM AN AM AM AN
=-=-，222
39
216
AM AB AB AD AD
=++，22
233
342
AM AN AB AD AB AD
=++，||6
AB=，||4
AD=，∴22
13
1239
316
AM NM AB AD
=-=-=
故选；C
【提示】根据图形得出
33
44
AM AB BC AB AD
=+=+，
22
33
AN AD DC AD AB
=+=+，
2
()
AM NM AM AM AN AM AM AN
=-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．
数学试卷第7页（共24页）数学试卷第8页（共24页）数学试卷第9页（共24页）。