重庆市育才中学2019-2020学年下学期高2022级期末考试
数学试题
考试时间：120分钟，满分：150分
本试卷共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin585︒的值为（ ）
A.
2 B.2- D.2.已知0,a b c R >>∈，那么下列命题正确的是（ ） A.
2211a b < B.11a c b c <++ C.11a c b c >++ D.11ac bc
< 3.已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA +=（ ）
A.()1,3-
B.()3,1-
C.()1,1-
D.()2,2- 4.在区间[]1,2-上随机取出一个数a ，则[]0,1a ∈的概率为（ ）
A.13
B.14
C.15
D.16 5.在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（ ） A.6 B.10 C.7 D.5
6.已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4
π
α-=（ ）
A.
17 B.7 C.1
7
- D.7- 7.已知不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，则不等式20x bx a --<的解集是（ ）
A.()2,3
B.()
(),23,-∞+∞ C.11,32⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D.1
1,,3
2⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
8.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的
概率为（ ）
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1
9.已知0,0a b >>
，则
11
2ab a b
++的最小值是（ ） A.2 B.22 C.4 D.5
10.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行。
中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A.第一场得分的中位数为
52 B.第二场得分的平均数为
193
C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差
D.第一场与第二场得分的众数相等
11.若
sin 11cos 3αα=-，则22cos 3sin 2
sin
2
ααα+-=（ ）
A.2-
B.22
C.4
D.5 12.梯形ABCD 中AB 平行于CD ,2,1,4
AB CD DAB π
==∠=，P 为腰AD 所在直线上任意一点，
则32PB PC +的最小值是（ ）
A.43
B.42
C.4
D.36 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13等比数列{}n a 中，131,13a S ==，其中公比0q >，则2a =.
14.2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”。
为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示）。
已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为.
15.已知2,2a b ==，且()
b a b ⊥-，则a b +=. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD ∆的面积为32,31,120,135AB BC ABC BCD ==∠=︒∠=︒，则ACD ∠=，AD =.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～22题考生都必须作答。
17.（本小题满分12分）
某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知()024x x ≤≤小时内供水总量为x 3千吨时，供水就会出现紧张现象。
（Ⅰ）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？
（Ⅱ）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水()2a a >千吨，求a 的最小值，使得供水紧张现象消除。
18.（本小题满分12分）
已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+。
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若将函数()f x 图像上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的
图象，求()g x 在区间,12ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域。
19.（本小题满分12分） 有如下数阵：23345121(2),(2,2),(2,2,2),,(2,2,,2)n n n +-，其中第n 个括号内的所有元素之和
记为n a 。
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令22(1)log (4)n n n n b n a =-⋅+-，求数列{}n b 的前100项和100S 。
20.（本小题满分12分）
在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时向t 之间对应的一组数据：
（Ⅰ）求数据6,10,10,13,16,17,19的均值y 与方差2y s ；
（Ⅱ）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程，并预测第100秒时产品表面的腐蚀深度（计算结果保留小数点后两位）。
（可能用到的公式与数据：y a bx =+，其中1
1
2
2
2
1
1
())()
(n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx ====---⋅=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-，
7
777
2
21
1
1
1
175,6075,1311,2730i
i
i
i i i i i i t
t y t y ========∑∑∑∑）。
21.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=。
（Ⅰ）若2,1a c ==，解这个三角形；
（Ⅱ）我们知道，如果PQ 是某个定圆的一条弦，点M 在PQ 分圆所得的优（劣）弧上运动，则PMQ ∠的大小确定。
本题中，
若b =请结合ABC ∆的外接圆，根据a 的取值讨论ABC ∆解的个数，并请说明a 取何值时ABC ∆的面积最大。
22.（本小题满分10分）
一农妇原有*0a N ∈个鸡蛋，现分9次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为
129,,,a a a ⋯个。
（I ）如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，…，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求
987,,a a a ，给出数列{}n a 的递公式并据此求出0a ：
（Ⅱ）鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋0511a =个，是否存在()*,,2p q N p ∈>，使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的
1p 又1q 个，第二次卖去剩下的1
p 又1q
个，第三次又卖去剩下的
1p 又1q 个，…，第九次仍然卖去剩下的1p 又1
q
个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的,p q 的值，如果不存在，请说明理由。