应城一中合作教育中心2013级数学科测试(一) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.不等式2450x x-->的解集是A．{x |－1≤x≤5} B．{x | x≥5或x≤－1}C．{x |－1< x < 5} D．{x | x > 5或x <－1}2.若a、b、c为实数，则下列命题正确的是A．若a > b，则ac2 > bc2B．若a < b < 0，则a2 > ab> b2C．若a < b < 0，则11a b<D．若a < b < 0，则b aa b>3.等差数列{a n}的公差d < 0，且a2a4 = 12，a2 + a4 = 8，则数列{a n}的通项公式是A．a n = 2n－2 (n∈N*) B．a n = 2n + 4 (n∈N*)C．a n =－2n + 12 (n∈N*) D．a n =－2n + 10 (n∈N*)4.下列命题中正确的是A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A、B、C、D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形5.不等式220ax bx+-≥的解集为1{|2}4x x--≤≤，则A．a =－8，b =－10 B．a =－1，b = 9 C．a =－4，b =－9 D．a =－1，b = 26.一平面截球O的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则球O的体积是A．12π cm3B．36π cm3C．cm3D．108πcm37.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A．6 B．9C．12 D．18高一数学第1 页(共8 页)高一数学 第 2 页 (共 8 页)8. 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知274sin cos 222A B C +-=，且a + b = 5，7c =，则△ABC 的面积为 A ．33B ．3 C ．3 D ．339. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题正确的是 A ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n10. 已知数列{a n }满足a n = nk n (n ∈N *，0 < k < 1)，下面说法正确的是①当12k =时，数列{a n }为递减数列；②当112k <<时，数列{a n }不一定有最大项；③当102k <<时，数列{a n }为递减数列；④当1k k -为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项.A ．①②B ．②④C ．③④D ．②③二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

)11. 已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 cm 2．12. 数列{a n }中，a 1 = 3，2*1()n na a n +=∈N ，则数列的通项公式 ． 13. 已知22log log 1x y +=，则x + y 的最小值为 ． 14.2cos10tan 20cos 20︒-︒=︒．15. 如图，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影．给出下列结论： ①AF ⊥PB ； ②EF ⊥PB ； ③AF ⊥BC ； ④AE ⊥平面PBC ． 其中正确命题的序号是 ．三．解答题(本大题共6小题，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

) 16. (本大题满分12分)ABC OPFE高一数学 第 3 页 (共 8 页)已知sin()sin 3παα++=，求2sin(2)cos 6cos 2παααα+-的值．17. (本大题满分12分)某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，游客可以乘长为3km 的索道AC 上山，也可以沿山路BC 上山，山路BC 中间有一个距离山脚B 为1km 的休息点D ．已知∠ABC = 120°，∠ADC = 150°．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2km ，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C 点)．18. (本大题满分12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000m 2，人行道的宽分别为4m 和10m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比1111A Bx B C =，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式；(2)?19. (本大题满分12分)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60，且a 6为a 1和a 21 的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ；(2)若数列{b n }满足*1()n n n b b a n +-=∈N ，b 1 = 3，求数列1{}nb 的前n 项和T n ．A BC D高一数学 第 4 页 (共 8 页)20. (本大题满分13分)已知△ABC 是边长为l 的等边三角形，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，AD = AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中BC =． (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当23AD =时，求三棱锥F －DEG 的体积V ．21. (本大题满分14分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n + 1 = 2S n + 2 (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n + 1之间插入n 个数，使这n + 2个数组成一个公差为d n 的等差数列． ①在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；②求证：*123111115()16n n d d d d ++++<∈N L ．CFABCDEGF高一数学 第 5 页 (共 8 页)2014年6月襄阳市普通高中调研统一测试高一数学参考答案及评分标准一．选择题：DBDBC BCADC 二．填空题：11． 12．213n n a -= 13． 1415．①②③三．解答题： 16．解：由sin()sin 3παα++=得：3sin 2αα= 2分8cos 5αα+=- 4分2sin(2)cos 6cos 2παααα+6分8分 cos αα+10分 85=-．12分 17．解：由∠ADC = 150°得：∠DAB = 30°2分由正弦定理得：1sin30sin120AD=︒︒，∴AD = 4分在△ADC 中，由余弦定理得：222||||||2||||cos150ACAD DC AD DC =+-⋅︒即22223|||||3||60DC DC DC DC =++⇒+-= 6分 解得：||DC =km8分 ∴||1BC==km 10分由于5.82=>，∴2.4> 因此两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰． 12分18．(1)解：设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米 由a 2x = 4000，得：a =2分高一数学 第 6 页 (共 8 页)则S = (a + 8)(ax + 20) = a 2x + (8x + 20)a + 160 4分=4000(820)1604160x ++=+即4160S =+ 6分 (2)解：416041605760S =+=≥ 8分当且仅当x = 2.5时取等号 10分此时a = 40，ax = 100所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 12分19．(1)解：设数列{a n }的公差是d ，则611656615602S a d a d ⨯=+=+=，即12520a d += ①2分∵a 6为a 1和a 21 的等比中项∴26121a a a =，即2111(5)(20)a d a a d +=+ ② 4分 由①②解得：a 1 = 5，d = 2 ∴23n a n =+，24n S n n =+． 6分(2)解：由(1)知： 111221232(1)32(2)3213n n n n n n b b n b b n b b n b b +----=+-=-+-=-+-=⨯+L累加，得：12(1231)3(1)n b b n n -=++++-+-L8分=2(11)(1)3(1)2n n n +--+-=223n n +-∴22n b n n =+ 10分11111()(2)22n b n n n n ==-++ ∴11111111(1)2324352n T n n =-+-+-++-+L2111135(1)22124(1)(2)n nn n n n +=+--=++++12分20．(1)证：在等边三角形ABC 中，AD = AE ，∴AD AEDB EC=高一数学 第 7 页 (共 8 页)在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立，∴DE ∥BC2分 ∵DE 在平面BCF 外，BC 在平面BCF 内，∴DE ∥平面BCF ．4分 (2)证：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，折叠后，AF ⊥FC 6分∵ 在△BCF中，BC =，12BF CF == ∴222BC BF CF =+，因此CF ⊥BF8分 又AF 、BF 相交于F ，∴CF ⊥平面ABF ．10分 (3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得：GE ⊥平面ABF ，∴F DEG E DFG V V --= 11分 当23AD =时，21113333DG GE BF FG AF ======， 12分∴1111132633E DFGV DG FG GE -=⨯⨯⨯⨯=⨯=13分21．(1)解：由a n + 1 = 2S n + 2，得：a n = 2S n －1 + 2 (n ≥2) 两式相减：a n + 1 = 3a n (n ≥2)2分∵数列{a n }是等比数列，∴a 2 = 2S 1 + 2 = 2a 1 + 2 = 3a 1，故a 1 = 2 因此123n n a -=⋅．4分(2)解：由题意1(21)n n n a a n d +=++-，即12323(1)nn n n d -⋅=⋅++，故1431n n d n -⋅=+6分①假设在数列{d n }中存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列 则2()k m p d d d =，即：11122243434333()111(1)(1)(1)k m p k m pk m p k m p ---+⋅⋅⨯=⋅⇒=++++++ (*) 8分∵m ，k ，p 成等差数列，∴m + p = 2k(*)可以化为k 2 = mp ，故k = m = p ，这与题设矛盾∴在数列{d n }中不存在三项d m ，d k ，d p (其中m ，k ，p 成等差数列)成等比数列. 10分②令01211231111234143434343n n n n T d d d d -+=++++=++++⋅⋅⋅⋅L L 则12312341343434343n nn T +=++++⋅⋅⋅⋅L 11分两式相减得：012122111134343434343n n nn T -+=++++-⋅⋅⋅⋅⋅L 111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⋅-=-⋅⋅- 13分高一数学 第 8 页 (共 8 页)∴11525151616316n n n T -+=-<⋅. 14分。