泉港一中2017-2018学年下学期期末考试高一数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）命题人： 审题人：一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列结论一定成立的是（ ） A ．a ＞bcB ．＜C ．a ﹣c ＞b ﹣cD ． a 2＞b 22．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－13.在等比数列{n a }中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值为（ ）A .3±B ．3C ．-3D ．不存在4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36 5．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点6．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=10，b=8，B=30°，那么△ABC 的解的情况是（ ） A ．无解 B ． 一解C ． 两解D ．一解或两解8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.639．《莱因德纸草书》（Rhind papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（ ）A ．35B ．32C ．30D ． 2710．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m ＜0D ．m ≥－411．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．206C ．30 6D ．40 612．在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；③到M （0，﹣2），N （0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0； ④直线y=x+1上的点到N （0，2）的“折线距离”的最小值为1． 其中真命题有（ ） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二．填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是________．14．如图，三棱锥C ADB -中，2CA CD AB BD ====，23AD =，1BC =，则二面角C －AD －B 的平面角为________．15.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是________万元．16. 设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的序号为________．（填上所有正确的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分） 若不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．(1)试求a 、b 的值； (2)求不等式ax ＋1bx －1≥0的解集．18.（本题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D 在直线AC 上，且AD=4DC.（I ）求BD 的长；（II ）求sin ∠CBD 的值.19.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．20（12分）．如图所示，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 是AC 、PC 的中点（1）求证：AC ⊥DF ；（2）若PA=2，AB=1，求三棱锥C ﹣PED 的体积．21（12分）已知直线l：mx+ny﹣1=0（m，n∈ R）与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2+y2=4相交所得弦长为2．（1）若直线l与直线2x+y+5=0平行，求直线l的方程；（2）若点P是可行域内的一个点，是否存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．22（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，λS n=a n a n+1+1，其中λ为常数．（1）证明：数列{a2n}是等差数列；﹣1（2）是否存在实数λ，使得{a n}为等差数列，并说明理由；（3）若{a n}为等差数列，令b n=（﹣1）n- 1，求数列b n的前n项和T n．泉港一中2017-2018学年下学期期末考试高一数学参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13、(x －1)2＋(y －2)2＝25 14、60 15、27 16、①②③④三、解答题：（本题共6个小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）(1)∵不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．∴a ＜0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两根，由韦达定理可得⎩⎨⎧－ba＝3，－1a ＝2，a ＜0.于是得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝32.…………………5分(2)由(1)得不等式ax ＋1bx －1≥0即为－12x ＋132x －1≥0， ∴⎝⎛⎭⎫－12x ＋1⎝⎛⎭⎫32x －1≥0且32≠x ，因此(x －2)⎝⎛⎭⎫x －23 ≤0且32≠x ，解得23＜x ≤2. 即原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<232x x.…………………10分18.（本题满分12分）（I ）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3，所以34cos ,sin 55C C ==，AC=5， 又因为AD=4DC ，所以AD=4，DC=1. 在△BCD 中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以4105BD =.……………………6分 （II ）在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠， 所以410154sin 5CBD=∠， 所以10sin 10CDB ∠=.……………………12分19．（本题满分12分）20．（本题满分12分） 证明：（1）连接ED 、EF ，∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴ED ⊥AC 又∵E 、F 分别是AC 、PC 的中点 ∴EF ∥PA 又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ， ∴EF ⊥AC 又∵ED ∩EF=E ，ED ，EF ⊂平面DEF ∴AC ⊥平面DEF … 又∵DF ⊂平面DEF故AC ⊥DF ……………………6分解：（2）∵PA ⊥平面ABCD ， ∴是PA 三棱锥P ﹣CED 的高，且PA=2 ∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形… 又∵AB=1， 故，…故……………………12分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）直线l 与圆224x y +=相交所得弦长为2.所以圆心到直线l 322223d m n m n ===++2213m n +=. …………………2分 因为直线l ：10mx ny +-=(,)m n ∈+R 的斜率1m k n=-， 直线250x y ++=的斜率22k =-，由题意知12k k =，得2m n =， …………3分 由（Ⅰ）可求得15n =，215m = 因此所求直线l 的方程为2150x y +-=． ………………………5分22.（本题满分12分）（1）证明：∵a 1=1，a n ≠0，λS n =a n a n+1+1，其中λ为常数． 当n ≥2时，λS n ﹣1=a n ﹣1a n +1，∴λa n =a n （a n+1﹣a n ﹣1），∴a n+1﹣a n ﹣1=λ，用2n 代替n 可得：a 2n+1﹣a 2n ﹣1=λ为常数，∴数列{a 2n ﹣1}是等差数列，首项为1，公差为λ；………………………4分（2）解：由λS n =a n a n+1+1，取n=1，可得λ=a 2+1， 则a 2=λ﹣1，∴a 2﹣a 1=λ﹣2．假设存在实数λ，使得{a n }为等差数列，则λ﹣2=，解得λ=4．因此当λ=4时，（a n+1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）=4，即a n+1﹣a n =2，∴{a n }为等差数列，首项为1，公差为2．………………………8分（3）∵{a n }为等差数列，由（2）可知：a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n(Ⅱ)12分)121121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1221211+=+-=∴n nn T n )121121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122 ………………………12分 （ 112)1(12-+-++=n n n n T ）。