式中: J=Δmi ri2
称为刚体对z轴的转动惯量。
o ri i
mi
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图5-2
11
刚体对z轴的角动量：
Lz= J (5-1)
显然，刚体的角动量的方向
与角速度的方向相同，沿z轴
方向(见图5-2),故也称为刚体对 固定轴z的角动量。
问题：为何动量的概念对刚体 已失去意义？
Z
L
o ri i
mi
图5-2
3
2
于是得 M-4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得
t -o 3RO 4g
又由2-o2=2 ，
dr r
水平桌面
图5-11
所以停下来前转过的圈数为
N 2-2o2 1 36 o2R g
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33
§5-4 定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动方程:
MdLd(J)
dt dt
tt1 2M d J J 1 2 1 t2d (J )J2 2-J1 1(5-8)
解 由 M=J , = o+t
有外力矩时,
20-M20r==JJ1，1，1=1=/t/1t1(因(因o=o=00)) (1)
撤去外力矩时,
-Mr=J2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
解式(1)、(2)得
J=17.3kg.m2 。
第5 章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
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1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理
• 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒
• 定轴转动的功能原理 这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
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2
刚体——力学中物体的一种理想模型。 刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
0
0
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7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
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r
ds
P=0
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12
二.刚体定轴转动定理
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij , j( i j )
按质点角动量定理(4-11)式，有
mi：r i F i r i j(i j)f ij d (r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri fij)0
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19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
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20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(5-7)
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2-o22
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10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量为
Δmi的质点对o点的角动量为
Z
Li=Δmiiri=Δmi ri2
L
刚体对z轴的角动量就是
Lz=(Δmi ri2) =J
度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数 为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环， 用积分计算出摩擦力矩。
M
R
-rg
m
0
R2
2rdr
o
- 2 mgR
3
dr r
J 1 mR2 2
水平桌面
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图5-11
32
M- 2 mgR, J 1 mR2
处理办法：
对平动的物体，分析受力，按照 F m a 列方程。 对转动的刚体，分析力矩，按照 MJ列方程。
补加转动与平动的关联方程
联立求解各方程。
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29
例题5-6 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可 绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，Ao= l/3。今使
棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角 时的角
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转 动时，可将圆盘划分为若干个半 径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r2
m
0 R
2
2rdr
1 mR 2 2
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R
dm
r dr
图5-7
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转 轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试 推算此转轮对该轴的转动惯量。
积分得
记住！
l
Jc
2 x 2 m dx 1 ml 2
-l l
12
C dm o x dx x
2
若棒绕一端o转动，由平行 轴定理， 则转动惯量为
图5-6 o
Jo
1 ml2m( l
12
2
)2
1 3
ml
2
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24
(2)均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动 惯量为
Jc
R2dm mR2
J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
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17
2 M M J J为 瞬 间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
3
M和
J，均对同一转轴而言。
4 M代表作用于刚体的合外力矩，M M外
上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩)等于 物体角动量的增量。
若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则
J =常量
(5-9)
这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持
不变，这就是定轴转动的实用角文档动量守恒定律。
34
系统角动量守恒定律：
当系统所受的合外力力矩为零时，系统的总角动量 的矢量和就保持不变。
d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
ran
at
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9
由
d a dt
2 an r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
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14
M
dL
dt
(5-2)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方
向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(5-3)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16)
又可写成
M=J
(5-4)
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。 比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
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4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
0 特别强调：系统所受合外力为零，M外不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转
动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问
题的方法。
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18
§5-3 转动惯量 一.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=J
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
对m:
mg-T=ma
对柱： TR=J
M •R
T
m
a=R 解得 =2mg/[(2m+M)R],
T=Mmg/(2m+M)。 实用文档
mg 图5-8
27
例题5-5 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量
m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端 通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开 始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
dt
又因 d d d d 3g cos dt d dt d 2l
d 3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 ； mg (2)当=90°时， =0， 3 g 图5-10
l
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B
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