f (x)
p l ba
l
l
1

a
ba
o

bx
分布函数
0,
x a,
F(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
(
x)


x b

a a
,
a x b,
1
1,
x b.


ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
(二) 指数分布
若连续型随机变量X 的概率密度为

1 ex


,
F
(
x
)


1

e

x

,
x 0,
0,
其他.
(4.8)
1 , 1, 2时F ( x)的图形如下
3
性质(4.9)称为无记忆性. 如果X是某一元件的 的寿命, 那么(4.9)式表明: 已知元件已使用s小时, 它总共能使用至少s t小时的条件概率, 与从开 始 使 用 时 算 起 它 至 少 能使 用t 小 时 的 概 率 相 等.这 就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆.
6当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
S1
x2 f ( x)d x
x1
1
S1
o
x1 x2
x
同时得以下计算公式
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)

a
f ( x) d x f ( x) d x





f ( x)d x f ( x)d x f ( x)d x.
连续型随机变量的分布函数是连续函数.
2.概率密度函数的性质
1 f ( x) 0;
2

f ( x)dx 1;

3 对于任意实数x1,x2 ( x1 x2 ),
P{ x1

X

x2}
F ( x2 )
F ( x1 )
x2 x1
f
( x)dx;
4 若f ( x)在点x处连续, 则有F ( x) f ( x).
型
二、常见连续型随机变量及其概率分布
(一)均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
x)


b
1
a
,
a x b,
(4.5)
0,
其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b).
概率密度函数图形
f (x)
均匀分布概率密度函数演示

a
o

bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
x 0,
f (x)
(4.7)
0,
其他,
其中θ 0为常数, 则称 X 服从参数为 的指数分布.
易知f ( x) 0, 且 f ( x)dx 1. 图2-11画出了
1 , 1, 2时f ( x)的图形.
3
图2-11
由(4.7)式容易得到随机变量X的分布函数为
连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布
一、概率密度的概念与性质
1.概率密度函数的定义
如果对于随机变量X的分布函数F ( x), 存在 非负函数f ( x), 使对于任意实数x有
x
F( x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量, 其中函数f ( x)称为X的 概率密度函数, 简称概率密度.
令 ( x ) t, 得到

1
e

(
x )2 2 2
dx

1
e t2 2dt
2
2
记 I e t2 2dt, 则有 I 2 e(t2u2 ) 2dt du


利用极坐标将它化成累次积分, 得到
I 2 2 rer2 2drd 2 00
(三) 正态分布 正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N( μ,σ2 ).
高斯资料
显然f ( x) 0, 下面来证明 f ( x)dx 1.
证明 (2)

1 F() f (x)d x.

(3) P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1 )
x2 f ( x) d x x1 f ( x) d x


x2 f ( x)d x.
x1
f (x)

S f ( x)d x 1
2 当x 时取到最大值 f () 1 . 2
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 , 改变 的值, 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定. 称
为位置参数.
P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{X a} 0.
连
若 P{ X a} 0,
续 型
则不能确定{X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
而 I 0, 故有 I 2 , 即有
于是
e t2 2dt 2 ,
1

e

(
x )2 2 2
dx

1
e t2 2dt 1.
2
2
f ( x)的图形如图所示.
性质:
1 曲线关于x 对称. 这表明对于任意h 0, 有 P{ h X } P{ X h}.

a
a
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F ( x) f ( x).
注意 对于任意指定值 a, 连续型随机变量取 a的概 率等于零. 即 P{X a} 0.
证明 P{X a} lim
a x
f ( x)d x 0.
x0 a
P{a X b} P{a X b} P{a X b}