x1 x 2
S1
x
(5) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
(3) 计算落入各子区间内观测值频数 ni 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) 频数 6 频率 0.06
(131.5, (135.5, (139.5, (143.5, (147.5, (151.5,
135.5) 139.5) 143.5) 147.5) 151.5) 155.5)
12 24 28 18 8 4
0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
(4)
以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 用上述直方图刻画随机变量 X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画 X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量 X 的概率密度曲线，可用来准确地刻画 X 的概 率分布情况。
第4.3节
连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
连续型随机变量 X 所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用“概率密度函数”表 示随机变量的概率分布。
一 频率直方图Leabharlann 这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1)先确定作图区间 [a, b] ; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2)确定数据分组数 m = 7，组距 d = (b − a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, ···, m；
密度函数的性质
(1)
(2)
p( x ) 0 ；



p( x ) dx 1 ；
这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与 x 轴所围 面积等于1。
(3) 对 p(x)的进一步理解： 若x是 p(x)的连续点，则 x x p( t )dt P( x X x x) lim lim x x 0 x 0 x x = p (x ) ， 故, X的概率密度函数p (x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量, p(x)相当于物理学中的线密度。
P { X a } lim a
x 0
a x
p( x ) d x 0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有 P { X a } 0.
若 P{ X a } 0,
连 续 型
则不能确定{ X a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件 P{ X a } 0.
离 散 型
p( x )
S1 x p( x ) d x
1
x2
1
0
x2
1
例1 某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
二
概率密度函数
设 X为 随 机 变 量 ，F ( x )为X 的 分 布 函 数 ,若 存 在 非负可积函数 p( x ), 使 对 于 任 意 实 数 x有 F ( x)
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其 中 p( x ) 称 为 X 的 概 率密度函数 ,简 称 概 率 密 度 .
若不计高阶无穷小，有：
P{ x X x x } p( x )x .
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 p(x) × △x 。 p(x) × △x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作 用类似。
(4) 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的 概率等于零.即 P { X a } 0. 证明