由(a－b)2＝|a－b|2≥0 不难得到 a2＋b2≥2a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立．
a＋b
a＋b
但将 2 ≥ ab(a，b∈R＋)简单地类比为 2 ≥ a·b就不行了，由于该不等式左边
为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
a＋b 注意到 2 ≥
ab(a，b∈R＋)⇔a＋2 b2≥ab(a，b∈R＋)，而不等式a＋2 b2≥a·b 左
9 故 a·b 的最小值是－8.
方法二 由定理 2 得 2a·(－b)≤2a－2 b2＝|2a－4 b|2≤94，
9 则 a·b≥－8，当且仅当 b＝－2a 时等号成立．
9 故 a·b 的最小值是－8.
说明 本题可推广至一般形式：若平面向量 a，b 满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当 λ>0 时，
右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋
4a·b≥4a·b 可得a＋2 b2≥a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立．
这样，我们就得到如下两个结论： 定理 1 设 a，b 是两个向量，则 a2＋b2≥2a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立． 定理 2 设 a，b 是两个向量，则a＋2 b2≥a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立．
高考数学复习考知识解析与专题练习
基本不等式的向量形式
[思维扩展]
波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数
学发现中的地位． 我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)是两个应用广泛的基
本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
解 由定理 2 得 0<A→B·B→C≤A→B＋2 B→C2＝14A→C2，
则
A→C2＋ 1 ≥A→C2＋ 4
A→B·B→C
A→C2
＝|A→C|2＋
4
≥2·|A→C|·
2 ＝4，
|A→C|2
|A→C|
故当且仅当A→B＝B→C，且|A→C|＝ 2时，A→C2＋ 1 取得最小值 4. A→B·B→C
例 5 设 a，b 满足 a2＋a·b＋b2＝3，求 a2－a·b＋b2 的取值范围．
1 则|c|的最大值是 θ.
cos 2 拓展 2 已知 a，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量 c 满足(a －c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 m2＋n2. 例 4 平面上三点 A，B，C 满足A→B·B→C>0，求A→C2＋ 1 的最小值．
A→B·B→C
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例 1 若平面向量 a，b 满足|2a－b|≤3，则 a·b 的最小值是________． 9
答案 －8
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解析 方法一 由定理 1 得 32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b
≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b， 9
所以 a·b≥－8，当且仅当 b＝－2a 时等号成立，
m2
m2
a·b 的最大值为4λ；当 λ<0 时，a·b 的最小值为4λ.
例 2 已知 a，b 满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．
分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理 1 此题极易作答，过
程如下．
1 答案 2 解析 引入正参数 λ， 由(a＋b)·(a－2b)＝0 得 a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则 1－2b2＝a·b， 1－2b2＝a·b≤12λa2＋1λb2 ＝12λ＋1λb2，
以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理 1、定理 2 的魅力，它们微小平凡，
对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价
值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙
却值得我们长久的思考．
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当且仅当 λa2＝1λb2，即 b2＝λ2 时等号成立． 所以 1－2λ2＝a·b≤12λa2＋1λb2 ＝12λ＋1λ·λ2，
1 解得 λ＝|b|≥2，
1 故|b|的最小值为2. 例 3 已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a－c)·(b－c)＝0， 求|c|的最大值． 解 由(a－c)·(b－c)＝0 得 c2＝c·(a＋b)， 由定理 1 及已知条件得 c2＝c·(a＋b)≤12[c2＋(a＋b)2] ＝12(c2＋a2＋b2)＝12(c2＋2)， 解得|c|2≤2，故|c|的最大值是 2. 拓展 1 已知 a，b 是平面内夹角为 θ 的两个单位向量，若向量 c 满足(a－c)·(b－c)＝0，
a2＋b2 解 由定理 1 得 a·b≤ 2 ，
3－a·b 所以 a·b≤ 2 ，
解得 a·b≤1. (－a)2＋b2
又由定理 1 得(－a)·b≤ 2 ， a2＋b2 3－a·b
所以 a·b≥－ 2 ＝－ 2 ，解得 a·b≥－3.
所以－3≤a·b≤1. 因为 a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b， 所以 1≤a2－a·b＋b2≤9.