第五章 定积分及其应用一、填空题1．由[],a b 上连续曲线()y f x =,直线(),x a x b a b ==<和x 轴围成的图形的面积为4．利用定积分的几何意义求10d x x =⎰ 5．积分1213ln d x x x ⎰值的符号是6．定积分()452sinsin d x x x π-⎰值的符号是8．积分413I ln d x x =⎰与4223I ln d x x =⎰的大小关系为9．区间[][],,c d a b ⊂,且()0f x >,则()1I d b af x x =⎰与()2I d dcf x x =⎰的大小关系为10．()f x 在[],a b 上连续,则()d baf x x =⎰ ()d abf x x ⎰11．若在区间[],a b 上,()0f x ≥,则()d baf x x ⎰ 012．定积分中值定理中设()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()f ξ=13．设()20,0x F x t x =>⎰,则()F x '=15．设()()()33sin d ,x F x t t x ϕϕ=⎰可导,则()F x '=16．0limx t x→=⎰18．设()()01d xf x t t t =-⎰,则()f x 的单调减少的区间是19．函数()23d 1x tf x t t t =-+⎰在区间[]0,1上的最大值是 ,最小值是 20．设()3131sin d x f x t t +=⎰,则()f x '=21．设()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的任意一个原函数,则()d baf x x =⎰22．123d x x x ⋅=⎰23．sin 22cos d x xe x ππ-=⎰24．设()f x '在[]1,3上连续,则()()321d1f x x f x '=+⎰ 25．2x ππ=⎰26．20cos d x x π=⎰27．2101d 1x x e x e -=-⎰28．20sin d x x π=⎰ 29．21e =⎰30．23545sin d 1x xx x -=+⎰ 31．设()f x 在[],a a -上连续,则()()sin d aa x f x f x x -+-=⎡⎤⎣⎦⎰ 32．设()21,0,0x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩,则()11d f x x -=⎰33．设()[]cos ,,02,0,1x x x f x e x π⎧⎡⎫∈-⎪⎪⎢=⎣⎭⎨⎪∈⎩,计算()12d f x x π-=⎰ 34．若广义积分11d q x x +∞⎰发散,则必有q 35．若广义积分101d p x x⎰收敛,则必有p36．反常积分20d x xe x +∞-=⎰ 37．1x =⎰38．曲线22,y x y x ==所围成的图形的面积为 39．曲线1sin 2,1,0,22y x y x x π====所围成的图形的面积为二、单项选择题1．函数()[]0,,f x x a b ≥∈且连续,则()y f x =,x 轴,x a =与x b =围成图形的面积s =( )A ．()d ba f x x ⎰ B ．()d baf x x ⎰C ．()d baf x x ⎰D ．()()()2f b f a b a +-⎡⎤⎣⎦2．413I ln d x x =⎰,4223I ln d x x =⎰,则1I 与2I 大小关系为( )A ．≥B ．≤C ．>D ．<3．()f x 连续,()0I d s t t f tx x =⎰,则下列结论正确的是( )A ．I 是s 和t 的函数B ．I 是s 的函数C ．I 是t 的函数D ．I 是常数4．()f x 连续且满足()()2,0f x f a x a =-≠,c 为任意正数,则()d ccf a x x --=⎰( )A ．()022d c f a x x -⎰B ．()22d c c f a x x --⎰C ．()02d cf a x x -⎰ D ．05．()f x 连续,()()d x e xF x f t t -=⎰,则()F x '=( )A ．()()x x e f e f x ----B ．()()x x e f e f x ---+C ．()()x x e f e f x ---D ．()()x x e f e f x --+6．设()2I sin d x x x t t =⎰,则()I x '=( )A ．2cos cos x x -B ．22cos cos x x x -C ．22sin sin x x x -D ．22sin sin x x x +7．当0x →时,()sin 20sin d xf x t t =⎰与()34g x x x =+比较是( )A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶但非等价无穷小D ．等价无穷小8.()(),f x x φ在点0x =的某邻域内连续,且当0x →时,()f x 是()x φ的高阶无穷小,则0x →时,()0sin d x f t t t ⎰是()0d xt t t φ⎰( )A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．同阶但不等价无穷小D ．等价无穷小9．()f x 为连续的奇函数,又()()0d xF x f t t =⎰,则()F x -=( )A ．()F xB ．()F x -C ．0D ．非零常数 10．设()()2d 2xx F x f t t x =-⎰,f 连续,则()2lim x F x →=( ) A ．0 B ．2 C ．()22f D ．()2f 11．设()f x 连续,0x >,且()()221d 1x f t t x x =+⎰,则()2f =( )A ．4B ．12C ．1+D．12-12．设()f x ''在[],a b 上连续,且()(),f a b f b a ''==,则()()d ba f x f x x '''=⎰( )A ．a b -B ．()12a b - C ．22a b - D ．()2212a b - 13．若()()2021d ,0,0x t e t x f x x a x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰,且已知()f x 在0x =点连续,则必有( ) A ．1a = B ．2a = C ．0a = D ．1a =-A ．t ⎰ B．0et ⎰C ．1e t ⎰ D ．1t ⎰15．()f x 在给定区间连续,则()320d ax f x x =⎰( )A ．()01d 2a xf x x ⎰B ．()21d 2a xf x x ⎰ C ．()202d a xf x x ⎰D ．()0d axf x x ⎰ 16．积分1ln d e xx x⎰的值是( ) A ．2122e - B ．21122e - C ．12D ．1- 17．若()40d 2xx f t t =⎰,则40d f x =⎰( )A ．16B ．8C ．4D ．218．积分1x -⎰的值是( )A ． 0B ．1C ．12D.2 19．曲线1,,2y y x x x===所围平面图形的面积为( )A ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ B ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ C ．()221112d 2d y y y y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ D ．()221112d 2d x x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰20．曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围平面图形的面积为( )A ．()10d x e ex x -⎰ B ．()1ln ln d ey y y y -⎰ C ．()1d ex x e xe x -⎰D ．()10ln ln d y y y y -⎰21．在区间[],a b 上()()()0,0,0f x f x f x '''><>,令()()()()()()1231d ,,2ba s f x x s fb b a s f b f a b a ==-=+-⎡⎤⎣⎦⎰,则有( ) A ．123s s s << B ．213s s s << C ．312s s s << D ．231s s s << 22．曲线cos ,22y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于( )A ．2π B ．π C ．212π D ．2π 23．曲边梯形()0,f x y a x b ≤≤≤≤,绕x 轴旋转而成的旋转体体积为( )A ．()2d b a xf x x π-⎰B ．()2d ba f x x π⎰ C ．()d ba xf x x -⎰D ．()2d ba f x x ⎰24．曲线()2ln 1y x =-上满足102x ≤≤的一段弧的弧长为( )A ．122201d 1x x x +-⎰B ．xC ．xD ．x25. 一无限长直线放在正实轴上,其线密度x e ρ-=,则其质量M =( )A ．eB ．∞C ．1 D.226．一变力212F x =把一物体从0.9x =推到 1.1x =,它所做的功W =( ) A ． 1.120.912d x x ⎰ B ．0.22012d x x ⎰ C ． 1.220.912d x x x ⋅⎰D ．0.22012d x x x⋅⎰三、证明题1．设()f x 是连续函数,证明：()()()10d d ba f x xb a f a b a x x =-+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ . 2．设()f x 是连续函数,证明：()()2321d d ,02a a x f x x xf x x a =>⎰⎰.3．设()f x 是连续函数,证明：()()200sin d sin d f x x f x x ππππ=⎰⎰.4．证明不等式()52441sin d 2x x ππππ≤+≤⎰.四、计算题1．()1001lim 1sin 2d xu x u u x →+⎰2．2001limarctan d xx u u x →⎰3．2001lim cos d xx u u x →⎰4．求21sin d xt t ⎰的导数.5．()()ln 1d xx f x t t φ=⎰,()t φ为连续函数,求()f x '.6．求函数()()()2012d xu f x u u e u -=--⎰的极值点. 7．计算()20d x e x x -⎰8．计算(2411x ⎰9．计算()12032d x x x +-⎰11．计算94x ⎰14．计算ln 0x ⎰15．计算21211sin d x x xππ⎰ 16．计算160x ⎰17．计算31e x ⎰18．计算()2501d x x -⎰ 19．计算10d x xe x -⎰ 20．计算()1013d x x x -⎰21．计算40sin d x x x π⎰22．计算()10ln 1d x x +⎰ 23．计算)221ln d e x x ⎰ 24．计算2222d x xe x --⎰25．计算221d 1x x +∞-⎰26．计算1x ⎰27．计算1x ⎰28．求曲线22235,1y x x y x =+-=-围成的平面图形的面积. 29．求曲线231,53y x y x =-=-围成的平面图形的面积. 30．求曲线6,7xy x y =+=围成的平面图形的面积. 31．求曲线ln ,0,y x y x e ===围成的平面图形的面积. 32．求曲线,,0x y e y e x ===围成的平面图形的面积. 33．求曲线22235,1x y y x y =+-=-围成的平面图形的面积. 34．求曲线()22,0,0,0y px y x a p a ===>>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.35．求曲线2xy a =,0y =,x a =,()20x a a =>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.36．求曲线2y x =,2x y =围成的平面图形绕y 轴旋转而形成的旋转体的体积.37．分别求曲线3y x =,0y =,2x =围成的平面图形绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积.38．求曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.39．求()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩的一拱()02θπ≤≤的长度. 40．求阿基米德螺线(0)r a a θ=>相应于θ从0到2π的一段弧的弧长. 41．圆柱形的水桶高为5m ,底圆半径为3m ,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。