专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明2019年2019年8.（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm8 解析头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-10.6182≈，可得咽喉至肚脐的长度小于2642 0.618≈，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，可得肚脐至足底的长度小42+26=1100.618，即有该人的身高小于11068178cm+=，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间．故选B．9.（2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球 质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和 万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD9解析 解法一（直接代换运算）：由121223()()M M M R r R r r R +=++及rR α=可得1212222(1)(1)M M M R r R αα+=++，3232111122222222[(1)1](33)(1)(1)(1)(1)M M M M M r R R R R αααααααα+-++=+-==+++. 因为34532333(1)ααααα++≈+，所以21122333M M M r r r R R R≈⋅=，则33213M R r M ≈，r ≈.故选D.解法二（由选项结构特征入手）：因为rRα=，所以r R α=， r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++．所以3453221333(1)M M ααααα++=≈+，所以r R α==故选D . 2010-2018年一、选择题1．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则R QPABC DA ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α5．(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛6．(2015广东)若集合(){,,,04,04,04Εp q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤，且,,,}p q r s ∈N ，(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =<<∈N ≤≤≤≤且，用()card Χ表示集合Χ中的元素个数，则()()card card ΕF += A ．200 B ．150 C ．100 D ．507．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有 A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人8．（2014山东）用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根9．（2011江西）观察下列各式: 553125=，6515625=，7578125=，⋅⋅⋅，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．（2010山东）观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x - C ．()g x D ．()g x - 二、填空题11．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．12．（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点iA 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点iB 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3．①记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q ，2Q ，3Q 中最大的是_ ___． ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则1p ，2p ，3p 中最大的 是______．13．(2016新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 14．（2016山东）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；…… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_______． 15．（2015陕西）观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为______________________．16．（2015山东）观察下列各式：0014C =；011334C C +=； 01225554C C C ++= 0123377774C C C C +++=……照此规律，当*N n ∈时，012121212121n n n n n C C C C -----+++⋅⋅⋅+= ．17．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =__．1318．(2014福建)若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是____． 19．(2014北京)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日．20．(2014陕西)已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________．21．(2014陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________． 22．(2013陕西)观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 ．23．(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为 (),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ． 24．(2012陕西)观察下列不等式213122+< 231151233++<，474131211222<+++，……照此规律，第五个．．．不等式为 ． 25．(2012湖南)设2nN =*(,2)n N n ∈…，将N 个数12,,,N x x x ⋅⋅⋅依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列012N P x x x =⋅⋅⋅．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，将此操作称为C 变换，将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n -剟时，将i P 分成2i段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，得到1i P +，例如，当N =8时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当N =16时，7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当2nN =（8n …）时，173x 位于4P 中的第 个位置. 26．(2011陕西)观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 ．27．(2010浙江)设112,,(2)(3)23n nn n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,2323T T T T ==-==-⋅⋅⋅ ,n T ⋅⋅⋅其中n T =__________________．28．(2010福建)观察下列等式：① cos2α=22cos α-1；② cos4α=84cos α-82cos α+ 1；③ cos6α=326cos α-484cos α+ 182cos α-1；④ cos8α=1288cos α-2566cos α+ 1604cos α-322cos α+ 1；⑤ cos10α=m 10cos α-12808cos α+ 11206cos α+n 4cos α+p 2cos α-1． 可以推测，m n p -+= ． 三、解答题29．（2018北京）设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--L ． (1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．30．(2018江苏)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求34(2),(2)f f 的值；(2)求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．31．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．(2016江苏)记{}1,2,,100U =L ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =L ，定义12k T t t t S a a a =+++L ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆L ，求证：1T k S a +<； (3)设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S +I ≥． 34．(2016浙江)设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈．证明： (1)2()1f x x x -+≥； (2)33()42f x <≤． 35．(2015湖北)已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；(2)计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a L L 的公式，并给出证明；(3)令112()nn n c a a a =L ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <．36．(2015江苏)已知集合*{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈，设{(,)|n S a b =a 整除b 或,,}n b a a X b Y ∈∈除，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．(1)写出(6)f 的值；(2)当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．37．(2014天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q L =-，集合112,,1,2,,{}n n i x q x M i n A x x x x q L L -+?==++.(1)当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；(2)设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，112n n t b b q b q -=+++L ，其中i a ，i b M ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅．证明：若n n a b <，则s t <．38．(2013江苏)设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数. (1)若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2)若{}n b 是等差数列，证明：0c =．。