若∠CMP=90°，如图（2）则∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-50-100=150°2. 过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ∴∠AEC=∠AFC=90º， ∠EAC=∠∴△AEC ≌△AFC ∴AE=AF∵AE=21(AB+AD)∴2AE=AB+AD ∴AB-AE =AE-AD∴AB-AE =AF-AD ，即EB =FD在△EBC 和△FDC 中：CE=CF ，∠BEC=∠DFC=90º ， EB =FD ∴△EBC ≌△FDC∴∠B=∠FDC ，即∠ABC=∠FDC∵∠FDC+∠ADC=180º ∴∠ABC+∠ADC=180º3. ∵M 、N 分别是点P 关于OA 、OB 的对称点 ∴EP=EM ，FP=FN∴△PEF的周长=EP+EF+FP =EM+EF+FN ，即△PEF 的周长=线段MN∵△PEF 的周长=20cm ∴MN=20cm(1)连接OM ，OP ，ON∵M 、N 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点∴OM=OP ，ON=OP ，∠MOA=∠POA ,∠NOB=∠∴OM=ON∠MON=∠MOA+∠POA +∠NOB+∠POB=2(∠POA +∠POB)=2∠AOB ∵∠AOB=45º， ∴∠MON=90º ，∴△MON 是等腰直角三角形（2）分别作点P 关于OA ，OB 的对称点M 、 N ，连接MN ，分别交OA ，OB 于点E 、F 连接PE 、PF ，△PEF 即为所求。
4.提示：连接AD ，证△ADF ≌△BDE5.提示：延长AB 与CD 的延长线交于点F ，证△ABE ≌△CBF6.提示：（1）EC=BD (2)∠BOP=∠BAE=60º，故∠BOP 的大小与△ABC 形状无关。
7.提示：过点E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ，证△MEG ≌△CFG8.（1）当在底边BC 边上取点时，分两种情况：时，容易计算得∠B=∠C=45º ，∠BAC=90º； 如图（2），在BC 上取点F ，使AB=FB ，AF=CF ，设∠B=∠C= x ，则∠FAC=x ，∠BFA=∠BAF=2x ，所以有x+x+x+2x=180º， x=36º ，2x=72º，3x=108º，∠B=∠C=36º ，∠BAC=108º ；（2）当在腰上取点时，也有两种情况：如图（3），在AC 上取点D ，使BD=AD=BC ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，所以∠BDC=2x ，∠C=2x ，∠DBC=x ，所以有x+2x+2x=180º，x=36º，2x=72º. 所以∠A=36º，∠ABC=∠ACB=72º. 如图（4），在AC 上取点G ，使AG=BG ，CG=CB ，设∠A=x ，则∠ABG=x ，∠BGC=∠CBG=2x ，所以，∠ABC=∠ACB=3x ，所以x+3x+3x=180º，x=7180 ，3x=7540 .所以∠A=7180 ，∠ABC=∠ACB=7540综上所述，△ABC 各内角度数分别为45º，45º，90º或36º，36º，108º或36º，72º，72º或7180 ，7540 ，75409.如图，延长BD 到点E ，使DE=DB ，连接AE. △ADE ≌△CDB ，所以AE=BC ，∠AED=90º，由∠ABC=120º，BD ⊥BC ， 所以∠ABD=30º，所以AB=2AE=2BC10.延长PC 到点D ，使CD=BP ，连接AD.∵∠ABP+∠ACP=180º，∠ACP+∠ACD=180º ∴∠ABP=∠ACD.在△ABP 和△ACD 中：AB=AC ，∠ABP=∠ACD ，BP=CD ∴△ABP ≌△ACD .∴AP=AD ，∠BAP=∠CAD. ∵∠BAP+∠PAC=60º，∴∠CAD+∠PAC=60º，即∠PAD=60º ∴∠PAD=60º ∴△PAD 是等边三角形 ∴AP=PD=PC+CD ∴AP=PB+PC11.过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接PA 、PB 、PC. ∵S △ABC =S △PAB +S △PBC +S △PAC 21BC.AH=21AB.PD+21BC.PE+21AC.PF 又∵AB=BC=AC ，∴AH=PD+PE+PF∴PD+PE+PF 的值是等边△ABC 的高，是不变的值。
12.如图，延长AE 到点F ，使EF=AB ，连接DF. 证明△ABD ≌△13.延长AB 至点E ，使BE=BD ，连接DE ，则∠BED=∠BDE ∵∠ABD=∠E+∠BDE ，∴∠ABD=2∠E ∵∠ABC=2∠C ，∴∠E=∠C 在△AED 和△ACD 中：∠E=∠C ，∠1=∠2，AD=AD ，∴△AED ≌△ACD ∴AC=AE∵AE=AB+BE ，∴AC=AB+BD 即AB+BD=AC 14.提示：证明△BDE ≌△FEC15. (1)①CF ⊥BD ，CF=BD ②成立。
提示：证明△ABD ≌△ACF(2) 如右图，过点A 作AG ⊥AC 交∴∠AGD+∠ACG=90º ，∠GAD+∠∵CF ⊥BC∴∠ACF+∠ACG=90º， ∴∠AGD=∠ACF∵四边形ADFE 是正方形∴∠CAF+∠DAC=90º，AD=AF∴∠GAD=∠CAF在△AGD 和△ACF 中：∠AGD=∠ACF,∠GAD=∠CAF,AD=AF ∴△AGD ≌△ACF ∴AG=AC∴∠AGC=∠ACG=45º 即∠BCA=45º∴当∠BCA=45º时CF ⊥BC16. 过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ， ∴∠AQB=90º，∠BAQ+∠ABQ=90º ∵CE ⊥AB∴∠PCN+∠ABQ=90º ∴∠BAQ=∠PCN ∵PN ⊥BC ∴∠CNP=90º ∴∠AQB=∠CNP 又∵AB=CP∴△ABQ ≌△CPN ∴BQ=PN同理可证：△ACQ ≌△BFM, ∴CQ=FM ∴PN+FM=BQ+CQ, 即PN+FM=BC17.作PM ⊥BC ，PN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ∴四边形PMCN 是矩形 ∴PN ＝CM ∵PB ＝PC∴CM ＝BM ＝21BC ＝21AC ∴PN=21AC∵AP=AC ∴PN ＝21AP∴在直角△PAN 中，∠PAN ＝30º ∴∠PCA ＝∠CPA ＝75º ∴∠BCP ＝90º－75º＝15º18. 过点A 作AN ⊥BC 于点N ，过点E 作EM ⊥BC 于点M ∴∠DME=∠AND= 90º，∠DAN+∠ADN=90º ∵DE ⊥AD∴∠EDM+∠ADN=90º ∴∠EDM=∠DAN在△EDM 和△DAN 中：∠DME=∠AND ，∠EDM=∠DAN ，DE=AD ∴△EDM ≌△DAN ∴DM=AN ，EM=DN ∵AB=AC ，∠BAC=90º ∴BN=AN ∴BN=DM∴BN-MN=DM-MN,即BM=DN ∴EM=BM∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE ，即∠ABE=∠CBD ∵BD=BE ，BC=AB ，∴△CBD ≌△ABE ﹙SAS ﹚ ∴CD=AE ，∴AD=AE+DE=CD+BD21.提示：证明△ACD ≌△BCE ，然后证明△AMC ≌△BNC ∴∠MCA=∠NCB ， MC=NC ∵∠MCA+∠MCB=60º，∴∠NCB+∠MCB=60º，即∠MCN=60º，∴△CNM 为等边三角形。
22.提示：（1）如图（1），在AB 上截取AH=EC ，证明△AHE ≌△ECF （2）如图（2），延长BA 到点H ，使AH=EC ，证明△AHE ≌△ECF23.正确的有:①②③④⑤⑥①∠DCE=∠BAC=60°，则DC ∥BA ，即CN ∥BA.②AC=BC,DC=EC ，∠ACD=∠BCE=120°，则△ACD ≌△BCE(SAS)，得AD=BE. ③△ACD ≌△BCE ，则∠ADC=∠BEC.故∠AOE=180°-(∠OAE+∠BEC)=180° -(∠OAE+∠ADC)=180° -∠DCE=120° . ④CD=CE ，∠BEC=∠ADC(已证)，∠NCE=∠MCD=60° ， 则△NCE ≌△MCD(ASA)，CM=CN. ⑤过点CP ⊥AD ，CQ ⊥BE∵△ACD ≌△BCE(已证)，∴CP=CQ.(全等三角形对应边上的高相等) 故OC 平分∠AOE.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上) ⑥在OA 上截取OF=OC ，连接CF.∵OC 平分∠AOE ，∠AOE=120°. ∴∠AOC=∠COE=60°，则△COF 为等边三角形. 故CF=CO ，∠CFO=∠COE=60°，∠AFC=∠BOC=120° 又△ACD ≌△BCE(已证)，∠CAD=∠CBE.图(1)百度文库- 让每个人平等地提升自我∴△ACF≌△BCO(AAS)，AF=BO. 所以，OB+OC=AF+OF=OA.⑦错误.由△NCE≌△MCD(已证)，易知DM=EN.∵∠CNE>∠NDE=∠DEC>∠NEC.∴EN>CN(大角对大边)，故DM=EN，DM>CN.11。