第三章 直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即k=tan α。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[
)
90,0∈α时，0≥k ； 当(
)
180
,90∈α时，0<k ； 当
90=α时，k 不存在。

例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和
解：k 1=tan30°=3
3
∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3
例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )
A.120°
B.150°
C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
注意下面四点：
(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值
※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线方程
①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是
x =x 1。

②斜截式：y =kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b
③两点式：
11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) ④截矩式：
1x y
a b
+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。

注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x y
a b
+=或y =kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）
注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：
平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是1
2
-，经过点A(8，—2)； .
(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .
(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3
,32
-； .
(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .
例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）
A ．C =0，B>0
B ．
C =0，B>0，A>0 C ．C =0，AB<0
D ．C =0，AB>0 4. 两直线平行与垂直
当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，
212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，
(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零) 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组⎩⎨
⎧=++=++0
C B A 0
C B A 222111y x y x 的一组解。

若方程组无解21//l l ⇔ ； 若方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 6. 点的坐标与直线方程的关系
7.
两条直线垂直的判定条件：当A 1、B 1、A 2、B 2满足 时l 1⊥l 2。

答：A 1A 2+B 1B 2=0
经典例题；
例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 解：
例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 解：
例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 解：
例4. 已知直线l 的方程为12
1
+-=x y ，
(1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。

8. 两点间距离公式：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|=2
122
12)()(y y x x -+-
9. 点到直线距离公式：一点P(x o ，y o )到直线l ：A x +B y +C =0的距离2
2
o o B
A C
B A d +++=|
y x |
10. 两平行直线距离公式
例：已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：A x +B y +C 1=0，l 2：A x +B y +C 2=0， 则l 1与l 2的距离为2
2
21B
A C C d +-=
例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。

例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

12. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为(221x x +，2
2
1y y +) 例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程。

13. 对称点与对称直线的求法
例1：已知直线l ：2x —3y +1=0和点P(—1，—2).
(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标 (2) 分别求：直线l ：2x —3y +1=0关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称的直线方程. (3) 求直线l 关于点P(—1，—2)对称的直线方程。

(4) 求P(—1，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。

例2：点P(—1，—2)关于直线l ： x +y —2=0的对称点的坐标为 。

例3：已知圆C 1：(x+1)2+(y —1)2=1与圆C 2关于直线x —y —1=0对称，则圆C 2的方程为： 。

A. (x+2)2+(y —2)2=1
B. (x —2)2+(y+2)2=1
C. (x+2)2+(y+2)2=1
D. (x —2)2+(y —2)2=1。