第三章直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2. 直线的斜率① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即 k=tan 。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;°当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 .当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。

例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 .y解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l13∴ k2 =—32x1例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()ol2°°°°②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y1 ( x1x2 )x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与 P1、 P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当 (1) l / / l2(2) l⊥l时分别求出 m 的值111※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线方程① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x x1。

=② 斜截式： y=kx+b ，直线斜率为k ，直线在 y 轴上的截距为 b③y y 1 x x1（x 1x 2 , y 11 11 1 1 1两点式：y 1 x 2 x 1y ）直线两点 P (x ， y )、 P (x ， y )y 2④ x y 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a ， 0)，与 y 轴交于点 (0， b),即 l 与 x 轴、 y 轴的截矩式：ba截距分别为 a 、 b 。

注意： 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况①两个截距都不为 0 ②或都为 0 ；但不可能一个为0，另一个不为 0.x y 或 y=kx.其方程可设为：1ab⑤ 一般式： Ax+By+C=0（ A ， B 不全为 0）注意： (1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：平行于 x 轴的直线：y b （ b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： xa （ a 为常数）；例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是1，经过点 A(8， —2)；.2(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；. (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3., 3 ；2(4)经过两点 P 1 (3， —2)、 P 2(5， —4)；.例 1：直线 l 的方程为 Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）A ． C=0， B>0B ． C=0， B>0， A>0C ． C=0， AB<0D ． C=0， AB>0例 2：直线 l 的方程为Ax —By — C=0，若 A 、B 、C 满足 AB.>0 且 BC<0，则 l 直线不经的象限是 （ ）A ．第一B ．第二C ．第三D ．第四4. 两直线平行与垂直当 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2 时，l 1 // l 2k 1 k 2 , b 1 b 2 ； l 1 l 2k 1k 21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 已知两条直线 l 1： A 1x+B 1y+C 1=0，l 2： A 2 x+B 2y+C 2 =0，(A 1 与 B 1 及 A 2 与 B 2 都不同时为零 )A 1 xB 1 yC 10 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组的一组解。

A 2 xB 2 yC 2两条直线的交角：两条相交直线l 1与 l 2的夹角：两条相交直线l 1与 l 2的夹角，是指由 l 1与 l 2相交所成的四个角中最小的正角，又称为 l 1和 l 2所成的角，它的取值范围是0,，当90 ，则有tan k 2k1.1 k1 k 22若方程组无解l1 // l 2；若方程组有无数解l1与l2重合6.点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点 P坐标 P(x o， y o)直线 l方程 Ax+By+C=0点 P(x o， y o)在直线 l 上坐标 ( x0 , y0 ) 满足方程：Ax+By+C=0点 P(x o，y o)是 l1、 l 2的交点A 1 xB 1 yC 10坐标 (x o， y o)满足方程组B 2 yC 20A 2 x7.两条直线的位置关系的判定公式A1B2— A2B1≠ 0方程组有唯一解两直线相交A 1B 2 A 2 B 10B 1C 2 B 2C 10,无解两直线平行或A1C2— A2 C1≠ 0A 1B 2 A 2 B 10B 1C 2 B 2 C 10有无数个解两直线重合或A1C2— A2C1 = 0两条直线垂直的判定条件：当 A1 B1、A2B2满足时l1⊥l2。

、、答： A1A2+B1B2=0经典例题；例 1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m 和 l2：2mx+4y+16=0， m 为何值时 l1与 l2①相交②平行解：例 2. 已知两直线l1： (3a+2) x+(1— 4a) y +8=0 和 l 2： (5a— 2)x+(a+4)y—7=0 垂直，求 a 值解：例3.求两条垂直直线 l 1： 2x+ y +2=0 和 l2： mx +4y— 2=0 的交点坐标解：例 4. 已知直线l 的方程为y1 x 1，2(1)求过点（ 2， 3）且垂直于l 的直线方程； (2)求过点（ 2， 3）且平行于l 的直线方程。

8.两点间距离公式：设 A(x1， y1)、 B(x2， y2)是平面直角坐标系中的两个点，则 |AB|= ( x2x1)2( y2y1 )29.点到直线距离公式：o o| A x o By o C |B 2A 210.两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l1和 l2的一般式方程为l1： Ax+By+C1=0，l2： Ax+By+C2=0，C1 C 2则 l 1与 l 2的距离为dB 2A 2例1：求平行线 l1： 3x+ 4y —12 =0 与 l 2： ax+8y+11=0 之间的距离。

例2：已知平行线 l1： 3x+2y — 6=0 与 l2： 6x+4y— 3=0 ，求与它们距离相等的平行线方程。

11.直线系方程已知两条直线 l111122221122都不同时为零 )：A x+B y+C =0， l：A x+B y+C =0， (A与 B及 A与 B 若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：l： A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2) =0 或者(A1x+B1y+C1 )+ A2x+B2y+C2 =0 都可以例 1：直线 l： (2m+1)x+(m+1)y— 7m—4=0 所经过的定点为。

(m∈ R)例 2：求满足下列条件的直线方程(1)经过点 P(2， 3)及两条直线 l1： x+3y—4=0 和 l2： 5x+2y+1=0 的交点 Q；(2) 经过两条直线l1： 2x+y—8=0 和 l2： x—2y+1=0 的交点且与直线4x— 3y—7=0 平行；(3)经过两条直线 l1： 2x— 3y+10=0 和 l2： 3x+4y—2=0 的交点且与直线 3x—2y+4=0 垂直；解：12. 中点坐标公式：已知两点1111 11x 1 x2，y1y2)22例 .已知点 A(7，— 4)、 B(— 5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。

13、对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等 .若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线 y x b 对称的解法： y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0.②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a –x, 2b –y)=0.例1：已知直线 l： 2x— 3y+1=0 和点 P(— 1，— 2).(1)分别求：点 P(—1，— 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标(2)分别求：直线 l： 2x— 3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程 .(3)求直线 l 关于点 P(— 1，— 2)对称的直线方程。

(4)求 P(—1，— 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。

例 2：点 P(— 1，— 2)关于直线l： x+y—2=0 的对称点的坐标为。

例 3：已知圆 C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线 x— y— 1=0 对称，则圆 C2的方程为：。

A. (x+2)2+(y—2)2=1B. (x—2)2+(y+2)2=1C. (x+2)2+(y+2)2=1D. (x—2)2+(y—2)2=1[ 基础训练 A 组 ]一、选择题1 ．设直线ax by c 0的倾斜角为，且 sin cos0 ，则 a, b满足（）A．a b1B．a b1C．a b0D．a b02 ．过点P(1,3) 且垂直于直线 x 2 y3 0 的直线方程为（）A．2x y 1 0B．2x y 5 0C．x 2 y 5 0D．x 2 y 7 03 ．已知过点A(2, m) 和 B(m,4) 的直线与直线 2x y 1 0 平行，则 m 的值为（）A．0B．8C．2D．104 ．已知ab0, bc0 ，则直线 ax by c 通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．直线 x 1 的倾斜角和斜率分别是（）A．450,1B．1350,1C．900，不存在D．1800，不存在6．若方程(2m3)x(m2)4 1 0表示一条直线，则实数m 满足（）m2m y mA．m 0B．m 323C．m 1D．m 1，m， m 02二、填空题1．点 P(1,1) 到直线 x y10 的距离是________________.2．已知直线 l1 : y2x3, 若 l 2与 l1关于y轴对称，则 l 2的方程为__________;若l 3与 l1关于 x 轴对称，则 l 3的方程为_________;若l 4与 l1关于y x对称，则 l 4的方程为___________;3．若原点在直线 l 上的射影为(2, 1) ，则l的方程为____________________。