第八章组合变形8.1 组合变形和叠加原理一、组合变形的概念1. 简单基本变形：拉、压、剪、弯、扭。

2. 组合变形：由两种或两种基本变形的组合而成的变形。

例如：烟囱、传动轴、吊车梁的立柱等。

烟囱：自重引起轴向压缩+ 水平方向的风力而引起弯曲；传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+ 扭转立柱：荷载不过轴线，为压缩= 轴向压缩+ 纯弯曲Ph g水坝qPh g二、组合变形的计算方法1. 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。

2. 求解步骤①外力分解和简化②内力分析——确定危险面。

③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。

§8.2 斜弯曲一、 斜弯曲的概念1. 平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴方向平行,挠曲线在纵向对称面内。

2. 斜弯曲：横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。

二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。

位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。

如上所示简支梁。

2. 内力计算形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。

同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z M 矩方程y M 或画出其弯矩图。

合成弯矩：2Z 2y M M M +=合成弯矩矢量M 与y 轴的夹角为：y z M Mtan =ϕ以上弯矩z M 和y M 均取绝对值计算，由力偶的矢量表示法可知，合成弯矩M 3. 计算xyz I zI y yz M M +=''+'=σσσ4. 轴的位置两平面弯曲组合成斜弯曲，只在横截面上正应力为零的点的连线才是斜弯曲的中性轴。

设中性轴上任一点的坐标）（00,y z ，将0y ，0z 代入应力计算公式，并令σ等于方程：零，得中性轴： 0M M 0y 0z =+yz I z I y中性轴与y 轴的夹角α,ϕαtan tan zz 00I I M M I I y z y y z y =⋅== 5. 最大正压力中性轴把横截面分为两个区域，一个受拉区，另一个受压区，离中性轴最远的点，正应力最大。

（1） 矩形或矩形组合截面对于有棱角的矩形（含正方形）或矩形组合截面，截面上的最大正应力一定发生在离形心最远的棱角上。

将最远点的坐标代入应力计算公式yyz z y z W M W M I z I y +=+=max y max z max M M σ（2） 圆形截面圆形截面的合成弯矩作用面与中性轴垂直。

合成弯矩作用面与圆截面的两交点即最大拉应力和最大压应力点，其最大拉、压应力相等。

W M max =σ, 2z 2y M M M += 例题图示简支梁由22a 工字钢构成，许用应力[]MPa 140=σ。

求该梁的许用载[]F ,图中长度l=1000mm 。

1.5F z解：查附录可得：2309W cm z =，2cm 9.40W =y对于A 截面，由强度条件有[]σσ≤+=+=y z y y z z W FlW Fl W M W M 4.0max ，得：kN 8.10≤F对于B 截面，由强度条件有：[]σσ≤+=+=yz y y z z W FlW Fl W M W M 8.05.0max ，得：kN 6.6≤F为了保证A 、B 两截面均能满足强度条件，许用载荷应取较小的数值，故许用载荷[]kN 6.6F =§8.4 扭转与弯曲的组合一、基本概念工程实例：牛腿，水坝等 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 1. 外力的简化将两齿轮的啮合力分别沿一对相互垂直的形心主惯性矩分解并向传动轴简化，得到作用于轴上并位于两相互垂直的形心主惯性平面内的两组力系和作用于轴上的一对力偶（匀速转到），如a). 2. 内力计算作出轴的扭矩图T M 和两个形心主惯性平面内的弯矩图z M 、y M 见图c 、d 、e 所示。

其最大弯曲正应力的计算公式与平面弯曲时的最大正压力计算公式一致，合成弯矩2z 2y M M M +=。

合成弯矩图反映了各截面合成弯矩的大小沿轴线的变化情况。

由合成弯矩图的大小可以判断危险截面的位置。

a)3. 危险点应力状态分析在危险截面上与合成弯矩M 对应的弯曲正应力在边缘上达到最大值，其值为：WM M W M 2y2+==z σ与扭矩T M 对应的切应力在圆截面的边缘各点上达到最大值。

其值为：PTW M =τ 三、强度条件工程中承受弯扭组合的构件常为塑性材料，在二向应力状态下，其主应力为 04212222222231=+±=+±=⎭⎬⎫στσστσσσσ，）（ 对于圆形截面，有16D W 3P π=, 32D W 3π=,2W W P =1. 采用第三强度理论计算2T 2y 2z 2T 2max 2P T 2max 224r M M M W1M M W 1)W M 4()W M (4++=+=+=+=τσσ 2. 采用第四强度理论计算b) T M 图c) z M 图d) y M 图e) M 图2T 2y 2z 2T 2max 2P T 2max 224r M 75.0M M W1M 75.0M W 1)W M 4()W M (4++=+=+=+=τσσ例题如图所示的传动轴AB 上，C 处带轮作用着水平方向的力，D 处带轮作用着铅垂方向的力。

已知传动轴是由P=45kW 的电动机通过带轮C 传动的，转速710r/min n =。

带轮C 自重kN 4.0W 1=,直径400m m D 1=，带轮D 自重kN 9.0W 2=，直径600m m D 2=，传动轴的直径mm 87d =，许用应力[]MPa 08=σ。

用第四强度理论校核该轴的强度。

解：(1)外力的分析和简化电动机通过带轮C 传给轴的扭矩为m N 605710459549n P 95492D )F -(2F M 111e ⋅==== 3.03kN 0.45602D 2M F 1e 1=⨯==, 2.02kN 0.65602D 2M F 2e 2=⨯==将作用在带轮上的外力向传动轴简化，得到作用于轴上的一对外力偶和水平与铅垂方向的力，如图，外力偶和力的大小分别是 kN 61.0M e = -9.09kN -3F F 1Cz ==xx0.4kN W F 1Cy ==， 6.96kN F 3W F 22Dy =+=(2)作内力图从合成弯矩图M 知，C 截面合成弯矩最大，C 截面即为危险截面。

m kN 29.3M max ⋅=，扭矩m kN 61.0M T ⋅= (3)强度校核[][]σπσ<=⨯⨯+⨯⨯=+=-MPa 5.711061.075.029.3107832M 75.0M W 1622932T2max 4r ）（ 该轴满足强度条件。

2. 如图所示曲拐轴，已知轴的尺寸a 、l 、d 即材料的许用应力。

求许用载荷[]F 。

、图T M图z M图y M 图MkN ∙m)8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合一、基本概念工程实例：牛腿，水坝等二、拉伸或压缩与弯曲的组合的应力计算 例题1. 图为悬臂式吊车架，由工字型横梁BC 和拉杆DC 组成，最大起重量F=30kN ，跨度l=3.6m 。

已知工字钢的许用应力[]MPa 100=σ，试从强度方面选择解：活动吊车处于BC 梁的中点时梁的弯矩最大，此时梁承受轴向压力作用。

所以，横梁处于压缩和平面弯曲的组合变形，梁跨中截面为危险截面，其轴力和弯矩值分别为：kN 2630Fcos F N-=-=kN 2746.3304M max =⨯==Fl 对于工字钢，其抗拉和抗压强度相同，轴向压缩时的正应力σ'和弯曲正应力σ''叠加得到正应力σ。

在梁中间截面的上边缘的σ绝对值最大，并且为单向应力状态。

其强度条件为[]σσ≤=WM -A F maxN maxC+=σ'σ''σ由于梁是主要承受弯曲的杆件，所以先不考虑轴力的影响，只根据弯曲程度初选工字钢型号，然后再按拉压和弯曲的组合条件进行强度校核。

所以：[][]363max max 270cm Pa 10100m N 1027M W WM =⨯⋅⨯=≥≤σσ，选取22a 工字钢， 2342cm A ,309cm W ==。

校核组合的强度条件：[]σσ≤=⨯⨯-⨯⨯-==--MPa 6.9310309102710421026W M -A F 6343max N max所以选取22a 工字钢满足条件。

2. 带有一缺口的钢板，如图，已知拉力120K F =，板宽80mm b =，板厚mm 15=δ，缺口深mm 12=t ，板的许用应力[]MPa 150=σ。

如不考虑应力集中的影响，试校核钢板的强度。

8.4 例题1. 受力构件形状如图，已知截面尺寸为mm mm 540⨯，通过轴线的拉力P=12KN,在拉杆开切口，不计应力集中的影响，当材料的许用应力a 100][MP =σ，试确定切口的最大许可深度。

2. 图示一矩形界面杆，受偏心压缩，在杆侧面A 点测得 45=α方向的线变度αε，若材料的弹性模量E 及横向变形系数v 皆为已知，且已知横截面尺寸b ，h 。

试求所受的压力P 。

3. 如图所示，直径为d 的圆截面杆AB ，在B 端受一力偶2Pd m =（力偶作用面与杆轴垂直）及一偏心力P （与杆轴平行）的作用。

材料弹性模量为E ，横向变形系数（泊松比）31=v 。

试求圆柱表面沿母线oa 及与母线成 45的ob 方向上的线应变a ε和b ε值。

4. 等截面圆杆受力如图所示，10d F M Pe =。

今测得圆杆表面a 点沿图示方向的线应变5-301033.14⨯= ε。

材料的弹性模量E=200GPa,泊松比v=0.30，杆直径d=10mm 。

（1） 求荷载e P M F 和。

（2） 若许用应力MPa 160][=σ，试校核该杆的强度。