2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．在三棱柱111A B C A B C -中，若1,,C A a C B b C C c ===，则1A B 等于( ) A. a b c +- B. a b c -+ C. a b c -++ D. a b c -+- 【答案】D【解析】∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中, 1,,C A a C B b C C c ===， ∴1A B =1A A +A B =1C C +()C B C A -=1C C C B C A a b c -+-=-+-. 故选：D.2．函数()sin xf x x e =+，则()0f ' 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 0 【答案】B【解析】解答： f ( x )=sin x +e x ， ∴f ′( x )=cos x +e x ，∴f ′(0)=cos0+e 0=1+1=2， 故选：B3．已知,m n 表示两条不同的直线， α表示平面，下列说法正确的是 （ ） A. 若,m n αα，则mn B. 若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C. 若,m m n α⊥⊥，则n αD. 若,m m n α⊥，则n α⊥【答案】B【解析】如图, ,A DE F G H D CE F G H 平面平面,但,A D D C 相交, A 错;,D G E F G H D G F G ⊥⊥平面 ,但F G E F G H ⊂平面, C 错; ,D CE F G H D C B C ⊥平面 ,但B CE F G H 平面 , D 错;故本题选B4．函数()()1ln x f x x x=>的单调递减区间是( )A. ()1,+∞B. ()21,eC. ()1,eD. (),e +∞ 【答案】C【解析】解答： f ′(x )=()2ln x 1ln x -，令f ′(x )<0，解得：1<x <e ， 故f (x )在(1,e )递减， 故选：D.5．如图，在棱长为2的正方体1111A B C D A B C D -中， O 是底面A B C D 的中心， ,E F 分别是1,C C A D 的中点，那么异面直线O E 与1F D 所成角的余弦值等于（ ）A. 5B.5C.45 D. 23【答案】A【解析】试题分析：取B C 的中点G ，连接11//G C F D ，再取G C 的中点H ，连接,H E O H，则O E H ∠为异面直线所成的角，在O E H∆中，22O E H E O H ===c o s 5O E H ∠=，故选A ．【考点】异面直线所成的角的求解．6．已知函数()sin f x x x =-，若12,-22x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()120f x f x +>，则下列不等式中正确的是（ ）A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +>D. 120x x +< 【答案】C【解析】()f x 为奇函数，所以()()110f x f x +-=；因为()()120f x f x +>，所以()()21fx fx >-，由()'1co s 0f x x =-≥可知函数()f x 单调递增，所以21x x >-，移项可得120x x +>7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A. 3B. 92C.32D. 2【答案】A【解析】试题分析：该几何体是四棱锥， ()11122332V x =⨯+⨯⨯=， 3x =．【考点】三视图，棱锥的体积．8．若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->成立，则p 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. (]0,1 C. ()1,+∞ D. [)1,+∞ 【答案】D【解析】解答：因为对任意的x >0,恒有ln x ⩽px −1⇒p ⩾ln x 1x+恒成立，设f (x )=ln x 1x +只须求其最大值， 因为f ′(x )=2ln x x-,令f ′(x )=0⇒x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0， 当x >1时,f ′(x )<0，故f (x )在x =1处取最大值且f (1)=1. 故p 的取值范围是[1,+∞). 故选D.9．甲、乙两人约定在下午4:305:00~间在某地相见，且他们在4:305:00~之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ） A.34B.89C.716D.1112【答案】B【解析】因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成。

以4:30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系,设甲乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω:{(x ,y )|0⩽x ⩽30,0⩽y ⩽30}，画成图为一正方形。

会面的充要条件是|x −y |⩽20,即事件A ={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分,∴由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=900100900-=89；故选B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．10．如图在一个60︒的二面角的棱上有两个点A B 、，线段A C 、B D 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱A B ，且1,2A B A C B D ===，则C D 的长为( )A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】∵C D = C A + A B + B D ，∴2C D =2C A + A B +2B D +2C A ⋅A B +2C A ⋅BD +2A B ⋅B D ,∵C A ⊥A B ,B D ⊥A B ，∴C A ⋅A B =0, B D ⋅A B =0，C A ⋅BD =|C A ||B D |cos120∘=−12×1×2=−1.∴2C D =1+1+4−2×1=4， ∴|C D |=2， 故选：A.11．已知函数()32f x a x b x cx d =+++的图象如图所示，则12b a ++的取值范围是( )A. 21,52⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可知：经过原点,∴f (0)=0=d ， ∴()32f x ax bx cx =++.由图象可得：函数f (x )在[−1,1]上单调递减,函数f (x )在x =−1处取得极大值。

∴f ′(x )=3ax 2+2bx +c ⩽0在[−1,1]上恒成立,且f ′(−1)=0. 得到3a −2b +c =0，即c =2b −3a ， ∵f ′(1)=3a +2b +c <0， ∴4b <0，即b <0， ∵f ′(2)=12a +4b +c >0， ∴3a +2b >0， 设k =b 12a ++,则k =()()b 12a ----，建立如图所示的坐标系,则点A (−1,−2)， 则k =b 12a ++式中变量a 、b 满足下列条件320{a b b +><，作出可行域如图：∴k 的最大值就是k AB =12,k 的最小值就是kCD ,而kCD 就是直线3a +2b =0的斜率,k CD =32-，∴32-<k <12.∴故选D.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 12．已知曲线()21:0,0C y tx y t =>>在点4,2M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与曲线12:1x C y e+=-也 相切，则24lne t t的值为（ ）A. 24eB. 8eC. 8D. 2 【答案】C【解析】解答： 曲线C 1:y 2=tx (y >0,t >0),y⋅t ，x =4t,y ′=t 4,∴切线方程为y −2=t 4(x −4t)设切点为(m ,n ),则曲线C 2:y =e x +1−1,y ′=e x +1,e m +1=t 4,∴m =lnt 4−1,n =t 4−1，代入t 4−1−2=t 4(lnt 4−1−4t)，解得t =4，∴24lne t t=4ln e 2=8.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为： ()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．二、填空题13．12x d x =⎰_______.【答案】13【解析】11320133xx d x ==⎰,故答案为13.14．已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>与双曲线222:4C x y-=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的公共点，若22P F =，则椭圆1C 的离心率等于_______.2【解析】由题意，不妨设P 在第一象限，由双曲线222:4C x y -=的方程知|PF 1|−|PF 2|=4,c∵|PF 2|=2,∴|PF 1|=6， ∴2a =|PF 2|+|PF 2|=8， ∴a =4. ∵椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>与双曲线222:4C x y-=有相同的右焦点2F ,c∴椭圆C 1的离心率为e =c a=2，故答案为：2.15．已知函数()()f x x R ∈的导函数为()f x '，满足()37f =， ()2f x '<，则()21fx x <+的解集为_______.【答案】()3,+∞【解析】解答： 设g (x )=f (x )−(2x +1)， 因为f (3)=7,f ′(x )<2，所以g (3)=f (3)−(2×3+1)=0，g ′(x )=f ′(x )−2<0，所以g (x )在R 上是减函数,且g (3)=0.所以f (x )<2x +1的解集即是g (x )<0=g (3)的解集。