;
(4)
y
1 cos2
x
;
(5) y 6x3 x ; 1 x2
(6)
y
4 x5
;
(7) y 3 x; 2
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′ ＝ ＝xx＋－11x＋－′1xx2－＋11x＋－1x＝2－1x＋2x1＋21. ′
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0， 故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；
(2)y＝exsin x；
(3)y＝xx2＋＋33.
解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x ＝ex(sin x＋cos x)．
x2 ) ' 1 x2 x(2x) (1 x2 )2
1 x2 (1 x 2 ) 2
(4) y ' (2x3 ) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x 3 )'3(x sin x)'0
6x 2 3(sin x x cos x)
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(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合 而成的．
(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝ x； (2)y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1.
导数的基本公式及运算法则
习题课
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1 : (C ) ' 0;
公式2 : ( x n ) ' nx n1;
公式3 : (sin x) ' cos x;
公式4 : (cos x) ' sin x;
公式5 : (a x ) ' a x ln a(a 0);
公式6 : (e x ) ' e x ;
公式7 : (log a
x) '
1 (a 0, 且a 1); x ln a
公式8 : (ln x) ' 1 ; x
需要使用导数的运算法则求导:
f (x) g(x) f (x) g(x)
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
(1) y ' (x3 cos x) ' (x3 ) ' (cos x) ' 3x2 sin x
(2) y ' ( x2ex ) ' ( x2 ) ' ex x2 (ex ) ' 2xex x2ex ( x 2) xex
(3)
y'
x
( 1
x2
)
'
x '(1
x2 ) x(1 (1 x2 )2
= (3x4) (ex ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x . f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1
例12 求下列函数的导数：
(1) y x3 cos x (2) y x2ex
(3)
答案解析：
y
x 1 x2
(4) y 2x3 3xsin x e2
变式训练 1 求下列函数的导数．x2－π6)； (3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e2x2＋1.
解 (1)令u＝1＋3x，则y＝u15＝u－5， ∴y′x＝y′u·u′x＝－5u－6·3 ＝－15u－6＝－1＋153x6. (2)令u＝x2－6π，则y＝sinu， ∴y′x＝y′u·u′x ＝cosu·(x2－6π)′＝2xcosu＝2xcos(x2－6π)．
解：(3)y′＝(xx2＋＋33)′＝x＋3′x2＋3x2－ ＋3x＋ 2 3x2＋3′
＝x2＋3－ x2＋x＋332×2x ＝－xx2－ 2＋63x＋2 3.
例题：求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x
解：
(1) y ' cos x x(sin x) cos x xsin x y" sin x (sin x x cosx) 2sin x x cosx
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(4)y′＝(x·tan x)′＝(xcsoisnxx)′
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xcos x＋x cos2x .
练习：求下列函数的导数
例2:求下列函数的导数:
(1) y x3 2x 3
(2)
y
1 x
2 x2
;
(3)
y
x 1 x2
;
(4) y tan x;
(5) y (2x2 3) 1 x2 ;
(6) y
1 x4
;
(7) y x x;
答案: (1) y 3x2 2;
(2)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
1 x2 (1 x2 )2
高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，所得到的一个新函数， 记作 f (x) 或 y 称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．