解三角形题型总结ABC ∆中的常见结论和定理：一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=，所以sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-；sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++=所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，…………2．大边对大角3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.四、面积公式：（1）12a S ah = （2）1()2S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径）（3）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===五、 常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π；根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b（2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,）解法：根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-求出边c ；根据余弦定理的变形bca cb A 2cos 222-+=求A ；根据内角和定理求角)(C A B +-=π.（3）已知三边（如：c b a ,,）解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 222-+=求A ；根据余弦定理的变形acb c a B 2cos 222-+=求角B ；根据内角和定理求角)(B A C +-=π（4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：2222cos c a b ab C =+-；解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）；再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；.先看一道例题：例：在ABC ∆中，已知030,32,6===B c b ，求角C 。

（答案：045=C 或0135）六、 在ABC ∆中，已知A b a ,,，则ABC ∆解的情况为：法一：几何法（不建议使用）（注：表中，A 为锐角时，若A b a sin ⋅<，无解；A 为钝角或直角时，若b a ≤，无解.法二：代数法（建议使用）通过例子说明步骤：大角对大边 结合 正弦定理 一起使用（见题型一）题型总结：题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型模型：在ABC ∆中，已知边b a ,和角A ,若不是求第三边c ，用正弦定理。

例1：在ABC ∆中，已知045,2,2===A c a ，求∠C 。

（答案：030=C ）例2：在ABC ∆中，已知030,32,6===B c b ，求∠C 。

（答案：045=C 或0135）例3：在ABC ∆中，已知030,22,2===B b a ，求∠A 。

（答案：无解）例4：（3）在ABC ∆中，已知02,1,30a b B ===，求∠A 。

（答案：一解）A 为锐角 A 为钝角或直角图 形关系式 A b a sin ⋅=b a A b <<⋅sinb a ≥b a >解的 个数一解两解一解一解题型二、利用正弦定理解决“已知两角一边”的类型 两角一边（两角一对边，两角一夹边）模型1：在ABC ∆中，已知角B A ,和边a ,解三角形。

模型2：在ABC ∆中，已知角B A ,和边c ,解三角形。

用正弦定理 例题：题型三、利用余弦定理解决“已知两边一夹角”的类型模型：在ABC ∆中，已知边b a ,和角C ,解三角形。

用余弦定理练习：题型四、利用余弦定理解决“已知三边”的类型模型：已知边c b a ,,解三角形。

根据余弦定理，bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=，分别求得角C B A ,,（或根据内角和定理求得角C )。

练习：题型五、利用余弦定理解决“已知两边一对角”的类型模型：在ABC ∆中，已知边b a ,和角A ,若只求第三边c ，用余弦定理。

模型： 在ABC ∆中，已知边b a ,和角A ,若不是只求第三边c ，用正弦定理。

例题：练习：在ABC ∆中，已知030,32,6===B c b ，求边a 。

（答案：3a =±题型六、三角形面积例1．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

解：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A -的值。

Θsin cos A A +=22① 21(sin cos )212sin cos 20180,sin 0,cos 0.1(sin 2)2A A A A A A A A ∴+=∴=-<<∴><=-o o Q 另解23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, ∴-=sin cos A A 62② ①+②得sin A =+264， ①－②得cos A =-264。

从而sin tan 2cos A A A ===-。

S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()以下解法略去。

练习1．在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =5b =,求sin sin B C 的值. 解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A== 25sin sin 47bc B C R ∴== 练习2. 已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得13BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==g g ，所以60C =o．练习3．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， ①当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =3b =，②当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==题型七：看到 “a 2 = b 2+c 2－bc ”想到余弦定理例1：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及c B b sin 的值。

分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理。

由b 2=ac 可变形为cb 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值。

解法一：∵b 2=ac 。

又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc 。

在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21， ∴∠A =60°。

在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aA b sin ，∵b 2=ac ， ∠A =60°， ∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23。

解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B 。

∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B 。

∴c B b sin =sin A =23。

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状——边角互化问题例1. 在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a=，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac +-． ∴ 2222a c b ac +-＝2c a，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．例2. 在ABC ∆中，若a bA B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。