复习题简答: 第一章1、设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A B 、C 表示出来:(1) B,C 都发生，而A 不发生； (2) A,B,C 中至少有一个发生； (3) A,B,C 中恰有一个发生； (4) A,B,C 中恰有两个发生； (5) A,B,C 中不多于一个发生； (6) A,B,C 中不多于两个发生。

解：(1) ABC(2) A B C (3) ABC ABC ABC (4) ABC ABC ABC (5) ABC ABC ABC ABC (6) ABC2、把1, 2, 3, 4, 5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。

问:(1) 所得三位数是偶数的概率是多少 (2)所得三位数不小于 200的概率是多少3、甲乙丙三人去住三间房子。

求:(1) 每间恰有一个的概率; (2)空一间的概率。

334、设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正。

一射击手用校正过的枪射击时,C 1C 32C 2(2)中靶概率为，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为.今假定从8支枪中任取一支进行射击，求:(1)中靶的概率;(2)若已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。

解：设A:中靶。

B:射击所用枪支是已校正过的。

P(A) P(BA) 0.8 0.34980 0.80.80.340495、设有甲乙两盒，其中甲盒内有2只白球1只黑球，乙盒内有1只白球5只黑球。

求从甲盒任取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。

解:A :从乙盒取出一球得白球。

B:从甲盒中取一白球放入乙盒。

2 P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)—3 2 11g7 3 7 216、设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45% 35% 20%如果各车间的次品率依次为4% 2% 5%现在待出厂产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。

解：A:任取一个产品是次品。

B:产品由甲车间生产。

P(BA)45% 4% 18 45% 4% 35% 2% 20% 5% 357、对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病治愈率为，现10个患此病的病人都服用此药，求其中至少有6人治愈的概率。

解:X：治愈的人数，X ~ B(10,0.8)一_ _6 _6 _4_7 _7 _3_8 _8 _2_9 _9 _1 _ 10 _ 10 P{X 6} C(0.8) (0.2) C(0.8) (0.2) &。

(0.8) (0.2) &。

(0.8) (0.2) &。

(0.8)0.9672第二章(1)系数k ；8、某产品5件，其中有2件次品。

现从其中任取 2件，求取出的 2件产品中的次品数概率分布律及分布函数。

解：次品数X 可能的取值为0, 1, 2分布律为:P{X 0}C 32 03. C 5P {X 1} 0.6P {X2}0.1分布函数为:0, x 0F(x)0.3, 0 x 1 0.9, 1 x 2 1, x 29、设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)A Be 3x ,x 0, x 0，试确常数 A,B ,并求，1 、 ， 、 P{- X 1}, P{X 1}及概率密度。

解：由F()1及F(x)在0的连续性，得A=1,B= -1 ,所以F(x)1 e 3x,x 00, x 0111 3%X 1} F ⑴飞)e e P{X 1}F(1) e 3;f(x) F (x)3e 3x, x 0 0, x 010、已知连续型随机变量 X 有概率密度f(x)kx 1,0 x 0,其它C 1c 2 C 52C 5213、设随机变量X在(-1,1)上服从均匀分布，求Y 3X 1的概率密度。

1 解：f (x) 2,0, 1 x 1其他1Y 3X 1的概率密度为f Y(y) 60, 2 y 4其他(2)分布函数F(x);(3)P{<X<}。

解：由f(x)的规范性，得k= -1/2.0, x 01 2F (x) x x, 0 0 241, x 2P{1.5 X 2.5} F(2.5) F(1.5) 0.062511、某元件寿命(按小时计)X服从参数为=0.001的指数分布，三个这样的元件使用1000 小时后，都没有损坏的概率是多少0.001x0.001e , x 00, x 0一■0.001xP{X 1000} 100p001e dx eY：损坏的个数，Y~B(3,1 e 1)0// 1 0 3 3P{Y 0} C3(1 e ) e e解：f (x)12、设X : N (1.5,4)，计算:(1) P{X<-4},解：P{X 4} P{X 1.5 4 1.5}2 2P{X 2} 1 P{X| 2} 1 (2^15) (2) P{|X|>2}。

(2.75) 1 (2.75) 0.0032 1.5( ------ )1 (0.25) 1 (1.75) 0.4414 2求(1) X 2, (2) X 1, (3) X2的分布律。

第三章15、一整数X随机地在1, 2, 3, 4四个整数中取一个值，另一个整数丫随机地在1到X中取一个值，试求（X,Y）的分布律。

解：16、设(X,Y)的概率密度为f(x, y) C(1& y ), x +y 1 ,试求: 0, x2+y2118、设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x, y) 4(2 x y)30,x 0, y 其它.(1)系数C; (2) (X,Y)落在D ：x 2 y 2(1/2)2确定的区域内的概率。

解：根据 f(x, y)dxdy 1--一 . 3 解出C 3一―213 1 P{(X,Y) D}0 d 02r — (1 r)dr 2求(1) (X,Y)的边缘分布律；(2) P{X>Y}。

解:X 1 p2/51/5 1/5 1/5(2) P{X>Y}=3/5(X,Y)的边缘概率密度，并判断 X,Y 是否相互独立。

2/5 1/5 1/5 1/517、设(X,Y)解：f X (x) f(x, y)dy (2 x y)3dy272 , (2 x), f Y (y ) f(x,y)dx 0 0, Er dx(2X ,Y 不相互独立 19、若X,Y 独立且都服从同一概率密度 f (x) xxe 度；(2) P{0<X<1,Y>2}。

解:(X,Y)的联合概率密度函数为 f (x, y)xye 0,0,,求0.1) (X,Y)的联合概率密(x y)0, 0,y 0 其他 1P{0 X 1,Y 2} 0 (x 2 xye y,dxdy (1 2e 1)3e 2或 P{0 X 1,Y 2} P{0 X 1} P{Y 2} - 1-2(1 2e )3e 20、一个有n 把钥匙的人要开他的门, 他随机而又独立地用钥匙试开。

如果除去试开不成功的钥匙，求试开次数的数学期望。

解：设X 为试开次数，则 X 的可能取值为1,2, n,且P(X k) n 1 n 2 L n k 1 1 n1 E(X) 1 — nn k 2 n k 1 1 n(n 1) 1 n n —— ----- 一 一 k 1,2,L ,n21、对球的直径作近似测量, 解：V E(V) —D 36b 3 1.—x ---- dxa6 b a 22、设 X 为随机变量, 证明: E[X(X 1)] 设其值均匀地分布在区间 2 2 24(b 2 a 2)(b a) E(X ) , D(X) 2,试证: E(X 2 X) E(X 2) E(X)[a,b]内,E[X(X求球体积的均值。

1)] (1)2。

(I ) 223、设(X,Y)服从D {(x, y) 10 x 1,0 y x}上的均匀分布，试求X,丫的相关系数并说明X 与Y 是否不相关。

_cov(X,Y)_ 1 —D(X)[D(Y) 2不是不相关。

24、对于随机变量 X,Y,Z ,已知E(X) E(Y) 1,E(Z) 1,D(X) D(Y) D(Z) 1,求(1) E(X Y)2; (2) D(X Y Z)。

解：E(X Y)2D(X Y) E 2(X Y)D(X) D(Y) 2 XY D(X)D(Y) [E(X) E(Y)]221 1 ( 2)2 6D(X Y Z) D(X) D(Y) D(Z) 2cov(X,Y) 2cov(X,Z) 2cov(Y,Z) 325、在n 重贝努里试验中，若每次试验 A 出现的概率为，试利用切比雪夫不等式求出 n,使A 出现的频率在至之间的概率不小于。

解：事件A 出现的次数X ~ B(n,0.75) E(X) 0.75n, D(X) 0.1875n,_ X P ( 0. 74 —0. 76) P { X 0. 75n 0. 01n }n1875解：f(x, y)2, (x,y) D 0, 其他2 1 E(X) E(Y) -, E(XY)3 3 2 1 2 1 E(X ) E(Y ) - D(X) 2 6 1 cov(X,Y) E(XY)4 E(X)E(Y)1 361值 D (Y)1 18XYXY0,XZ 0.5, YZ0,5, 0. 1875n , 1875 1 ------ 2 1---(0. 01n )2n0.9, n 18750.第五章26、已知一批产品(批量很大)的次品率p 0.1,现从这批产品中随机地抽取1000件进行检查，求次品数在 90至110之间的概率。

解：次品数 X ~ B(1000,0.1 ), E(X) 1000 0.1 100, D(X) 1000 0.1 0.9 90....... X-100 ...由中心极限定理 Xt0近似服从N(0,1) ,90 P{90 X 110} P{90-100X-100,90 .9027、设某电话交换台每秒种平均被呼叫 2次(电话交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布)试求在100秒钟内被呼叫次数在 180至220次之间的概率。

100解：第i 秒呼叫次数X i ~ (2) E(X i ) 2, D(X i ) 2,100秒内呼叫次数为 X,则X X i i 1E(X) 100 2 200, D(X) 100 2 200, ....... X-200由中心极限定理 X200近似服从N(0,1) .200第六章28、设X I ,X 2,K , X n 来自总体 X 的简单随机样本，已知E(X) ,D(X)2 ,试求E(X),D(X)O解：E(X) E(X) D(X)110-100 ,90 }(1.05)- (-1.05) 0.7062100180 -200P{180 X i 220} P{一 X-200 ,200220-200―, ---- } (1.41)- (-1.41)0.841429、设X I ,X 2,K ,X 5来自总体X 为标准正态分布的简单随机样本，试确定常数C,使得T呼 1 X 2) .服从t 分布。