一次函数的图像和性质专题讲义一次函数知识精讲一．一次函数的概念若两个变量x，y的关系可以表示成：y kx b、为常数，且0=+（k bk≠）的形式；那么y就叫做x的一次函数；其中，x是自变量，y是因变量．1．一次函数的解析式的形式是y kx b=+，判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．2．当0=仍是一次函数．k≠时，y kxb=，03．当0k=时，它不是一次函数．b=，04．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．1．一次函数的图象及性质：2．一次函数的图象及其画法（1）一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点． （3）由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+．所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三．解析式求法（1）定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．（2）用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．例题讲解一：概念例1.1.1下列说法中不正确的是（ ） A ．一次函数不一定是正比例函数 B ．不是一次函数就一定不是正比例函数 C ．正比例函数是特殊的一次函数D ．不是正比例函数就一定不是一次函数例1.1.2下列函数中不是一次函数的是（ ）A ．12y x =-B ．2y x= C ．32y x =- D ．223y x =-+例1.1.3若函数y=（m ﹣1）x |m|﹣5是一次函数，则m 的值为（ ） A ．±1 B ．﹣1 C ．1 D ．2 【解析】根据题意得，|m|=1且m ﹣1≠0，解得m=±1且m≠1，所以，m=﹣1． 二：图像和性质例1.2.1直线2y x a =-+经过点()13,y 和()22,y -，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．无法确定例1.2.2一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ；当0k >，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k >，0b <时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b <时，直线y kx b =+过 象限．(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为 、 ； 其中 、 分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距．例1.2.3函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠）在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．图AB ．图BC ．图CD ．图D三：解析式求法例1.3.1某一次函数的图象与y 轴交点于点()0,4A ，且过点()2,2B -，求此一次函数的解析式 例1.3.2如图，过点（0，3）的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是 ．A ．B ．C ．D ．②②②②①①①①O x yOxyO xyyx O例 1.3.3在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,6，点B 在一次函数y x m =-+的图象上，且5AB OB ==．求一次函数的解析式．随堂练习1.1下列函数中不是一次函数的是（ ） A ．12y x =-B ．2y x=C ．32y x =-D ．223y x =-+1.2已知函数2(1)1y k x k =-+-；当k ________时，它是一次函数；当k ________时，它是正比例函数．1.3已知点()12,y -、()21,y 都在直线113y x =-+上，则1y 与2y 大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．无法判断1.4直线y=kx+b 不经过第四象限，则（ ） A ．k ＞0，b ＞0 B ．k ＜0，b ＞0 C ．k≥0，b≥0 D ．k ＜0，b≥01.5下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（ ）A ．图AB ．图BC ．图CD ．图D1.6已知一次函数y kx b =+中，0kb <，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有 个，即第 象限．1.7已知一个一次函数的图象经过点()2,0A 、()1,2B . （1）求这个一次函数的解析式；（2）若这条直线经过点(),2P a -，求a 的值； （3）在右图的直角坐标系中画出这条直线.AB C D1.8已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数48y x =-+的图象分别与x y 、轴交于点A 、B ，点P 在x 轴的负半轴上，ABP ∆的面积为12．若一次函数y kx b =+的图象经过点P 和点B ，求这个一次函数y kx b =+表达式．一次函数的图象变换知识精讲一．平移变换1．左右平移：左加右减00()()m m m m y kx b y k x m b y kx b y k x m b >>⎧=+−−−−−−−−−→=++⎪⎨=+−−−−−−−−−→=-+⎪⎩向左平移（）个单位长度向右平移（）个单位长度直线:直线:直线:直线: 2．上下平移：上加下减00m m m m y kx b y kx b m y kx b y kx b m >>⎧=+−−−−−−−−−→=++⎪⎨=+−−−−−−−−−→=+-⎪⎩向上平移（）个单位长度向下平移（）个单位长度直线:直线:直线:直线: 二．对称变换1．关于x 轴对称x y kx b y kx b =+−−−−−→=--关于轴对称直线:直线:2．关于y 轴对称y y kx b y kx b =+−−−−−→=-+关于轴对称直线:直线:-4-3 - 4 32 1-3-24 2 1 0x例题讲解一：平移变换例2.1.1直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，0）例2.1.2将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为____A．y=2x-1 B．y=2x-2 C．y=2x+1 D．y=2x+2二：对称变换例2.2.1已知直线21y x=+与已知直线=+，则它与y轴的交点坐标是________，若另一直线y kx b=+关于y轴对称，则k=_____，b=_____．21y x例2.2.2如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（-2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是____．随堂练习1,2-．2.1已知正比例函数的图象过点()（1）求此正比例函数的解析式；1,2，求此（2）若一次函数y kx b=+图象由（1）中的正比例函数的图象平移得到的，且经过点()一次函数的解析式2.2要得到24y xy x=-（）=--的图象，可将直线2A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位C．向上平移4个单位D．向下平移4个单位2.3在下图中，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是_______2.4将直线2y x =向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ） A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．2(2)y x =-D ．2(2)y x =+2.5如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.（1）求AB 的长和点C 的坐标； （2）求直线CD 的解析式．课后作业1下列函数：①y x =；②4x y =；③4y x=；④21y x =+，其中一次函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2已知函数y=kx+b 的图象如图，则y=2kx+b 的图象可能是（ ）A．A选项B．B选项C．C选项D．D选项3下列图象中，不可能是关于x的一次函数(3)y mx m=--的图象的是（）A．图A B．图B C．图C D．图D4若一次函数12(1)12y k x k=-+-的图像不过第一象限，则k的取值范围是___________．5无论m为什么实数时，直线2y mx m=+-总经过点_____________（写出点的坐标）．6若2y -与2x+成正比例，且0x=时，6y=．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）如果点(),3P m在这个函数的图象上，求m的值．7如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC的解析式．8下列说法正确的是（）A．直线2y x=向右平移2个单位得到直线22y x=+B．直线2y x=向左平移2个单位得到直线22y x=+C．直线2y x=向下平移2个单位得到直线22y x=+D．直线2y x=向上平移2个单位得到直线22y x=+A B C D9图中直线是由直线l 向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，则直线l 对应的一次函数关系式为____．10已知一次函数y kx b =+的图象向右平移2个单位后是：312y x =-；则原一次函数的解析式为____________．11已知一次函数2y x p =-+（p 为常数）的图象一次平移后经过点1(1)A y -，，2(2)B y -，，则1y _______2y （填“”“”“”><=、、）． 12如图，直线y=﹣33x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO′B ，则点O′的坐标是（ ）A ．（3，3）B ．（3，3）C ．（2，23）D ．（23，4）。