高一数学------函数的基本性质
一、、知识点：
本章知识结构
1、集合的概念
集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ(空集）与{Φ}（集合中含有一个元素，即空集）”的关系。
（正整数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、几个常用数集N（自然数集）、N*（正整数集）、N
＋
R（实数集）
3、集合的表示方法
（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n ，…} ●注意a 与{a}的区别：a 表示一个元素，{a}表示一个集合 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y ＝x 2}， {y|y ＝x 2}， {（x ，y ）|y ＝x 2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系
●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。
掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“
”等符号
●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。
5、集合的运算
集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。
在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。
一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。
同时，我们还要掌握它们的运算性质：
A B A B A A A A A A A B B A =⇔⊆Φ
=Φ=Φ== B B A B A A
A A A A A A
B B A =⇔⊆=Φ=Φ==
U
A C
B B
C A B A A A C C A C A U
A C A U U U U U U =⇔Φ
=⇔⊆=Φ== )(
函数的基本性质
基础知识：
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；
如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇 函数，又是偶函数。
注意：
○
1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一
定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；
②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；
（2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
（3）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：
增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
3、函数的周期性
如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得 f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期. 性质：
①如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期.
②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为|
|ωT 。
一、典型选择题
1．在区间上为增函数的是（）
A． B． C． D．
（考点：基本初等函数单调性）
2．函数是单调函数时，的取值范围（）
A． B． C ． D．
（考点：二次函数单调性）
3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D．没有最小值
（考点：函数最值）
4．函数，是（）
A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与有关
（考点：函数奇偶性）
5．函数在和都是增函数，若，且那么（）A． B． C． D．无法确定
（考点：抽象函数单调性）
6．函数在区间是增函数，则的递增区间是（）
A． B． C． D．
（考点：复合函数单调性）
7．函数在实数集上是增函数，则（）
A．B．C． D．
（考点：函数单调性）
8．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）A． B．
C ．
D ．
（考点：函数奇偶、单调性综合） 9．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
（考点：抽象函数单调性）
10、设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在(0,3)内单调递增，且y=f (x )的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( )
(A) f (1.5)<f (3.5)<f (6.5) (B) f (6.5)<f (1.5)<f (3.5) (C) f (6.5)<f (3.5)<f (1.5)
(D) f (3.5)<f (6.5)<f (1.5)
11、已知()x f 为偶函数,且()()x f x f -=+22,当02≤≤-x 时,()x
x f 2=,则()2006f = （ ）
A ．2006
B ．4
C ．4-
D ． 4
1 （考点：函数周期性）
二、典型填空题 1．函数
在R 上为奇函数，且
，则当
，
.
（考点：利用函数奇偶性求解析式） 2．函数
，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .
（考点：函数单调性，最值）
3、已知偶函数)(x f 和奇函数)(x g 的定义域都是(-4,4),它们在(]0,4-上的图像分别如 图（2-3），则关于x 的不等式0)()(<⋅x g x f 的解集是_____________________。
y
y=g(x)
-4-2
y=f(x)
-2
-40x
y
x
0图(2-3)
三、典型解答题
1．已知，求函数的单调递减区间.
（考点：复合函数单调区间求法）
2．已知，，求.
（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）
3．在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为
（单位元），利润的等于收入与成本之差.
①求出利润函数及其边际利润函数；
②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；
（考点：函数解析式，二次函数最值）
参考答案
一、BAABD BAADB D
二、1．；2．和，； 3.（-2，0）U（2,4）
三、1．解：函数，，
故函数的单调递减区间为.
2．解：已知中为奇函数，即=中，也即，
，得，.
3．解：.
；
，故当62或63时，74120（元）。
因为为减函数，当时有最大值2440。
故不具有相等的最大值.。