ρ
1
ρ
∂P ∂x
≤
O (1)
ux
∂u y ∂x
+ uy
∂u y ∂y
=
−
1
ρ
∂P ∂y
+
μ ρ
⎛ ⎜⎜⎝
∂ 2u y ∂x2
+
∂ 2u y ∂y 2
⎞ ⎟⎟⎠
(1)× (δ ) (δ ) × (1)
≤ (δ ) (δ 2 ) (δ )
(1)
δ
(δ )
13
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25
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作业
假设平板壁面上边界层内的速度分布为直线，其速 出度方边程界为层厚ux=度a+δ与by流，动试距应离用x边的界关层系动。量积分方程导
26
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⎝
μ ⎞2
ρu0
x
⎟ ⎠
=
−1
4.64 Rex 2
x处的剪切应力：τ sx
=
0.323ρu02
−1
Rex 2
∫ 总曳力Fd
=b
Lτ
0
sx
dx
=
0.646b
μρ Lu03 ,宽度b,长度为L
19
CD
=
1 2
Fd
ρu02bL
=
1.292 ReL
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iv. y=δ,
dux = 0 dy
18
ux u0
=
3y
2δ
−
1 2
⎛ ⎜⎝
y
δ
⎞3 ⎟⎠
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沿平壁层流边界层的计算
∫ ρ d dx
δ 0
(u0
−
ux
)u x dy
=
τ
s
＋
ux u0
=
3 2
⎛ ⎜⎝
y
δ
⎞ ⎟⎠
−
1 ⎛ y ⎞3
2 ⎜⎝ δ ⎟⎠
4
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5.1 边界层概念
流过一物体壁面的流体分成两部分
¾ 边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力 ¾ 外流区，理想流体，可以忽略粘滞力
5
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边界层理论的要点
边界层厚度δ的变化
∂y Δy O(δ ) δ
∂2ux ∂y 2
≈
Δux
( Δy )2
=
O(1)
O(δ 2 )
= O( 1 )
δ2
数量级
12
ux
∂u x ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1
ρ
∂P ∂x
+
μ ρ
⎛ ⎜ ⎝
∂ 2ux ∂x2
+
∂ 2ux ∂y 2
⎞ ⎟ ⎠
(1)× (1) (δ ) × (δ1 )
1
(1) (δ 2 )
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=−
1
ρ
dP dx
+
μ ρ
∂2ux ∂y 2
∂ux + ∂uy = 0 ∂x ∂y
y = 0时， ux = uy = 0
B.C.
y = ∞时， ux = u0
应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re比较大
平板和流线型物体不会发生边界层分离
21
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粘性流体绕圆柱体流动
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5.2.1 普兰德边界层方程
讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流
Dux Dt
=−
1
ρ
∂P ∂x
+
υ
⎛ ⎜ ⎝
∂2ux ∂x2
+ ∂2ux ∂y 2
+
∂2ux ∂z 2
⎞ ⎟ ⎠
Du y Dt
=
−1
ρ
∂P ∂y
+
υ
⎛ ⎜⎜⎝
边界层积分动量方程 ∫ ρ d dx
δ
0 (u0 − ux )uxdy = τ s
可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数 等；
方程有ux，τs，δ三个变量； 需要预先假定一个速度分布方程才能求解，
故只能算是一种近似的方法。
17
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边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般 理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传 递过程和质量传递过程有着密切的关系。
2
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5.1 边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。
边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。
边界层的形成： ¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用
边界层厚度δ ¾U＝0Æ0.99 U0
Ludwig Prandtl: Father of Boundary Layer
U0
3
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∂2uy ∂x2
+
∂2uy ∂y 2
+
∂2uy ∂z 2
⎞ ⎟⎟⎠
不可压缩流体的NavierStocks方程
不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1
ρ
∂P ∂x
+
μ ρ
⎛ ⎜ ⎝
∂2ux ∂x2
+
∂2ux ∂y 2
⎞ ⎟ ⎠
ux
∂u y ∂x
+ uy
第五章 边界层理论(Boundary Layer Theory)
边界层概念 边界层方程 边界层分离
1
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5.1 边界层概念
在上述层流动量传递的若干实例的分析中， (1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、 忽略进口段影响。实际问题要复杂得多。
dx
1l δ
x
( ) ¾上部外流区进入
∫ ρ ∂ ∂x
l
0 uxdy dx
不可压缩流体沿平板壁面的 稳态二维流动
x向净动量 变化率：
15
( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ρ
l 0
ux2dy
+
ρ
∂ ∂x
l 0
ux
2dy
dx − ρ
l 0
ux2dy
−
ρu0
∂ ∂x
l
0 uxdy dx
∫ = ρdx ∂
∂x
Re0.5 = 1.664×105 < 5×1050.5处的边界层为层流边界层
(2)δ
=
−1
4.64x Re0.5 2
=
0.00569 m
∫ ∫ (3)ω0.5 =
δ
0 ρuxbdy =
δ 0
ρu0
⎡3 y
⎢ ⎢⎣
2
δ
−
1⎛ y
2 ⎜⎝ δ
⎞3 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
bdy
=
5 8
ρu0bδ
= 0.0214 kg
其他物理量的数量级
∂ux ≈ Δux = O(1) = O(1) ∂x Δx O(1)
∂ux = O(1) + ∂ux + ∂uy = 0
∂x
∂x ∂y
∂2ux ∂x2Biblioteka ≈Δux( Δx )2
=
O(1) O(1)O(1)
= O(1)
∂uy = O(1) ∂y
uy = O(δ )
∂ux ≈ Δux = O(1) = O( 1 )
5.2.3 沿平壁层流边界层的计算
n
∑ 待定系数法： ux = ai yi 需要n＋1个边界条件以确定n＋1个待定
i=0
系数
ux = a + by + cy2 + dy3
边界条件：
i. y=0, ux=0 (不滑脱)
ii.
y=0，
⎛ ⎜
⎝
d2ux dy 2
⎞ ⎟ ⎠ y=0
=
0
iii.y=δ, ux=u0
标准数量级：
¾x为距离的标准数量级，记为x=O(1) ¾¾u边0为界速层度厚的度标δ的准数数量量级级记，为记δ=为Ou(0δ=)O，(远1) 远小于O(1)
其他物理量的数量级：
¾¾uy与x与δu是0是一一个个数数量量级级，，记记为为y=uOx=(δO)(1)