绝密★启用前2015年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数 学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）sin 225=（ ）（A ）2-（B ）2（C ）12-（D ）12（2）设平面向量(1,2)a =-，(3,2)b =-，则2a b +=（ ）（A ）(1,0) （B ）(1,2)（C ）(2,4)（D ）(2,2)（3）设集合{1,2,3,4}A ⊆，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）（A ）2个（B ）4 个（C ）5 个 （D ）7个（4）设()y f x =是212xxy --=+的反函数，则1()5f =（ ）（A ）4 （B ）2（C ）12 （D ）14（5）设函数212log (45)yx x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1-（D ）2-（6）不等式24x x ++<的解集为（ ）（A ）{|1}x x < （B ）{|61}x x -<<（C ）{|4}x x <（D ）{|0}x x <（7）已知函数sin (0)y x ωω=>的图象关于直线3x π=对称，则ω的最小值为（ ）（A ）2（B ）32（C ）23（D ）12（8）函数cos()23x yπ=+的图象按向量ω平移后，所得图象对应的函数为（ ）（A ）cos 2x y=（B ）cos 2xy=-（C ）sin 2x y=（D ）sin 2x y=-（9）函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-的最大值为（ ）（A ）1（B ）34（C ）34-（D ）1- （10）直线l 与椭圆2213618x y +=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(2,1)，则l 的斜率为（）（A（B）（C ）1（D ）1-（11）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =公比为q ，且1q <，若1l i m 33n n nS S →∞+=--，则q =（ ） （A ）23-（B ）12-（C ）12（D ）23（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（ ）（A ）311（B ）411（C ）511（D ）611二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

（13）点(3,1)-关于直线0x y +=的对称点为_____________．（14）曲线x y xe =在点(0,0)处的切线方程为_____________________． （15）复数3(1)iz i i +=+的共轭复数z =_______________．（16）A ，B ，C 为球O 的球面上三点，AB AC ⊥，若球O 的表面积为64π，O 到AB ，AC 的距离均为3，则O 到平面ABC 的距离为____________．（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面220x z --=的垂线，垂足为______________．（18）若多项式432()p x x x ax bx c =++++，(1)2p =，用21x +除()p x 的余式为2，(1)p -=___．三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（19）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，sin 2sin C A =，2B A =，求b 和B ．（20）设函数2()2x af x x=+，当1x =时，()f x 取得极值。

（I ）求a ；（II ）求()f x 的单调区间。

（21）已知数列{}n a 的前n 项和2142n n n S a -=--。

（I ）证明：数列{2}nn a 是等差数列； （II ）求{}n a 的通项公式。

（22）设11(,)A x y 和22(,)B x y 是抛物线C ：2y x =上的两点，且1210x x +=。

（I ）若11y =，求直线AB 的方程；（II ）证明：当点A ，B 在C 上运动时，线段AB 的垂直平分线过定点。

2015年港澳台联考数学试题解析版一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）sin 225=（ ）（A ）2- （B ）2（C ）12-（D ）12【答案】A（2）设平面向量(1,2)a =-，(3,2)b =-，则2a b +=（ ）（A ）(1,0) （B ）(1,2)（C ）(2,4)（D ）(2,2)【答案】B（3）设集合{1,2,3,4}A ⊆，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）（A ）2个（B ）4 个（C ）5 个 （D ）7个【答案】C（4）设()y f x =是212xxy --=+的反函数，则1()5f =（ ）（A ）4 （B ）2（C ）12 （D ）14【答案】B（5）设函数212log (45)yx x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1-（D ）2-【答案】D（6）不等式24x x ++<的解集为（ ）（A ）{|1}x x < （B ）{|61}x x -<<（C ）{|4}x x <（D ）{|0}x x <【答案】A【解析】方法一：特殊值法，取0x =，不等式成立，排除B ，D ；再令2x =，不等式不成立，排除C 。

方法二：分段讨论法：当2x ≥-时，22224x x x x x ++=++=+<，解得21x -<<；当2x <-时，2(2)24x x x x ++=-+=-<恒成立．综上得，{|1}x x <．选A ．（7）已知函数sin (0)y x ωω=>的图象关于直线3x π=对称，则ω的最小值为（ ）（A ）2（B ）32（C ）23（D ）12【答案】B 【解析】令32k ππωπ=+，得332k ω=+，故ω的最小值为32。

（8）函数cos()23x yπ=+的图象按向量ω平移后，所得图象对应的函数为（ ）（A ）cos 2x y =（B ）cos 2xy=-（C ）sin 2x y=（D ）sin 2x y=-【答案】D（9）函数(sin cos 1)(sin cos 1)y x x x x =+-的最大值为（ ）（A ）1（B ）34（C ）34-（D ）1- 【答案】C（10）直线l 与椭圆2213618x y +=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(2,1)，则l 的斜率为（）（A（B）（C ）1（D ）1-【答案】D【解析】定理：在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2020MNx b k y a =-. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212xyx y x x y y x x y y k MN ==++--=22MN y b k x a ∴⋅=-，2020MN x b k y a ∴=-利用上述结论，1AB k =-（11）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =公比为q ，且1q <，若1l i m33n n nS S →∞+=--，则q =（ ）（A ）23-（B ）12-（C ）12（D ）23【答案】C（12）有5本数学书、3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每题都有1本的概率为（ ）（A ）311（B ）411（C ）511（D ）611【答案】A二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

（13）点(3,1)-关于直线0x y +=的对称点为_____________．【答案】(1,3)-（14）曲线x y xe =在点(0,0)处的切线方程为_____________________． 【答案】y x =（15）复数3(1)iz i i +=+的共轭复数z =_______________．【答案】12i -+（16）A ，B ，C 为球O 的球面上三点，AB AC ⊥，若球O 的表面积为64π，O 到AB ，AC 的距离均为3，则O 到平面ABC 的距离为____________．【解析】球的表面积为2464R ππ=，4R =，因此AB ==AC =，因为AB AC ⊥，所以△ABC 的外接圆的半径为r =d ==（17）在空间直角坐标系中，过原点作平面220x z --=的垂线，垂足为______________． 【答案】42(,0,)55-（18）若多项式432()p x x x ax bx c =++++，(1)2p =，用21x +除()p x 的余式为2，(1)p -=___． 【答案】2-三、解答题：本大题共4小题；每小题15分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（19）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，sin 2sin C A =，2B A =，求b 和B ．【解析】因为sin 2sin C A =，由正弦定理得，22c a ==，又sin sin 22sin cos B A A A ==，故232cos 24b b a A b +==⋅，解得b =，由2221431cos 22122a c b B ac +-+-===⨯⨯，故3B π=．（20）设函数2()2x af x x=+，当1x =时，()f x 取得极值。

（I ）求a ；（II ）求()f x 的单调区间。

【解析】()f x 的定义域为{|0}x x ≠，2()a f x x x '=-， （I ）由(1)101af '=-=，故1a =． （II ）21()f x x x '=-，令21()0f x x x'=->，得1x >，故增区间为(1,)+∞；令21()0f x x x'=-<，得1x <，又定义域为{|0}x x ≠，故减区间为(,0)-∞和(0,1)． （21）已知数列{}n a 的前n 项和2142n n n S a -=--。