绝密★启用前2017年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数 学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ）（A ）{}2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}123,4，， （2）0000cos 20cos 25sin 20sin 25-=（ ）（A ）2 （B ）12（C ）0 （D ）2- （3）设向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 和b 的夹角为（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150（4）2=⎝⎭（ ）（A ）122i -- （B ）1+22- （C ）12 （D ）12 （5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，546S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是（ ）（A ）81,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （B ）41,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）84,95⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,0-（6）椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在C 上，22F P =，1223F F P π∠=，则C 的长轴长为（ ）（A ）2 （B ） （C ）2 （D ）2+ （7）函数()y f x =的图像与函数()ln 1y x =-的图像关于y 轴对称，则()f x =（ ）（A ）()ln 1x -- （B ）()ln 1x -+ （C ）()ln 1x -- （D ）()ln 1x +（8）设01a <<，则（ ）（A ）2log a > （B ）a >（C ）2log a a < （D ）2log a （9）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（ ）（A ）16个 （B ）70个 （C ）140个 （D ）256个（10）正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，D 为1AA 的中点，则四面体1A BCD 的体积是（ ）（A ）（B ） （C （D （11）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，直线()y k x c =-与C 的右支有两个交点，则（ ）（A ）b k a <（B ）b k a > （C ）c k a < （D ）c k a> （12）函数()f x 的定义域(),-∞+∞，若()()1g x f x =+和()()1h x f x =-都是偶函数，则（ ）（A ）()f x 是偶函数 （B ）()f x 是奇函数 （C ）()()24f f = （D ）()()35f f =二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.（13）()62x -的展开式中5x 的系数是____________.（用数字填写答案）（14）在ABC ∆中，D 为BC 的中点，8AB =，6AC =，5AD =，则BC =____________. （15）若曲线()111y x x x =+>-的切线l 与直线34y x =平行，则l 的方程为____________.（16）直线20x --=被圆2220x y x +-=截得的线段长为___________.（17）若多项式()p x 满足()21p =，()12p -=，则()p x 被22x x --除所得的余式为________. （18）在空间直角坐标系中，向量a 在三个坐标平面内的正投影长度分别为2，2，1，则a =____________.三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （19）（15分）设数列{}n b 的各项都为正数，且11nn n b b b +=+. （1）证明数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设11b =，求数列{}1n n b b +的前n 项和n S .（20）（15分）已知函数()()323112f x ax a x x =-++.（1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a ≤时，讨论方程()0f x =实根的个数.（21）（15分）袋中有m 个白球和n 个黑球，1m n ≥≥.（1）若6m =，5n =，一次随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率；（2）有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同的概率为58，求:m n .（22）（15分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，短轴的一个端点为B ，短轴长为4，ABF ∆1（1）求a ，b ；（2）设直线l 与C 交于,P Q 两点，()2,2M ，四边形OPMQ 为平行四边形，求l 的方程.2017年港澳台联考数学真题答案二、填空题13．12-14．1015．3450x y-+=1617．1533x-+18．2三、解答题19．解：（1）两边取倒数得，.11111nn n nbb b b++==+，故数列1nb⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为11b.（2）由（1）得，111b=，111(1)nn nb b=+-=，故1nbn=，所以1111(1)1n nb bn n n n+==-++，因此111111...22311nnSn n n=-+-++-=++．20．解：()()()()236112322f x ax a x ax x'=-++=--.（1）当0a>时，令()0f x'=，得2x=或2xa=；①当01a<<时，有22>，列表如下：故极小值为2()fa a=.②当1a=时，有22a=，则()()2320f x x'=-≥，故()f x在R上单调递增，无极小值；③当1a>时，有22a<，列表如下：故极小值为(2)124f a =-.（2）①当0a =时，令()23123(4)f x x x x x =-+=--，得0x =或4x =，有两个根；②当0a <时，令()0f x '=，得2x =或2x=，有202<<，列表如下： 故极大值为(2)1240f a =->，极小值2()0f a a =<，因此()0f x =有三个根. 21．解：（1）记“一次随机抽取两个球，两个球颜色相同”为事件A ，则()2265211511C C P A C +==； （2）记“有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同”为事件B ，则两次取出的颜色都是白色的概率为21m p m n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则两次取出的颜色都是黑色的概率为22n p m n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，由题意，()()2222258m n m n P B m n m n m n +⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，化简得2231030m mn n -+=， 即231030m m n n ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得3m n =或13m n =，由1m n ≥≥，故3m n =.22．解：（1）依题意得，222241()12ABF b S a c b a c b∆=⎧⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.（2）方法1（点差法）：由（1）得椭圆的方程为22154x y +=，因为四边形OPMQ 为平行四边形，设OM 的中点为D ，则D 也是PQ 的中点，因为()2,2M ，则()1,1D ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由题意22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212054x x y y --+=， 变形得()()()()12121212054x x x x y y y y -+-++=，即121212124421455215PQy y x x kx x y y -+⨯==-⨯=-⨯=--+⨯，所以直线l 的方程为41(1)5y x -=--，即4590x y +-=. 带入22154x y +=，检验0∆>，有两个交点，满足题意。

方法2（韦达定理法）：①当直线PQ 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P Q y y =-，其中点为(1,0)，不成立；②当直线PQ 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，联立得221(1)154y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 化简得，222(54)10(1)510150k x k k x k k +--+--=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12210(1)2151k k x x k -+==⨯+，解得45k =-， 带入上述二次方程，检验得0∆>，满足题意.所以直线l 的方程为41(1)5y x -=--，即4590x y +-=.。