1、位置的描述
可以引入比例因子：
x
wp x
AP
y z
p w p y
其中：
wp
x
wx,py
wy,pz
z w
z
w
w
比例因子可为任意值，相当于缩放，当为零时，表示为一个长度为 无穷大的向量，表示方向向量，由该向量的三个分量来表示，此时 需将该向量归一化，使长度为1。
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
进一步观察 ，可以看出矩阵的行是单位矢量 {A}在 {B}中的描述.
因为
B A
R
为坐标系{A}相对于 {B}的描述
BAR AXˆB
AYˆB
AZˆB
B
Xˆ
T A
BYˆAT
BZˆAT
由转置得到 ABR BART
这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置
由两个单位矢量的点积可得到二者之间的余弦，因此可以理解为什
么旋转矩阵的各分量常被称作为方向余弦。components of rotation
matrices are often referred to as direction cosines
PA•PB=|PA|•|PB|•cosØ
第二章 机器人运动学
rr32330R 1[0n,0o,0a]noa
x
x
x
0R
noa
1
y
y
y
noa
z
z
z
nxoxax c o s ( n, x)c o s ( o, x)c o s ( a, x) 0 R nyoyay c o s ( n, y)c o s ( o, y)c o s ( a, y)
1 nzozaz c o s ( n, z)c o s ( o, z)c o s ( a, z)
by degrees
PxA
PxB
AP PyA , BP PyB
PzA
PzB
PxA
PxB
cos
PyB
sin
PyA PxB sin PyB cos
Pz
A
PzB
PxA PyA
c s
s c
0 0
PxB PyB
PzA
0
0
1
PzB
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
BAR1BART
A B
R
1
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—坐标系的描述
用
B A
R
和
A PBORG 来描述坐标系 { B }
{B}{B AR,APBORG}
第二章 机器人运动学
§2.3 映射—坐标变换
1、平移坐标系的映射 设坐标系{B}与{A}具有相同的方位，但是{B}的坐标原点与{A}不
重合，用位置矢量 描A P述B 它相对于{A}的位置，称为{B}相对于{A} 的平移矢量。如果点P在坐标系{B}中的位置为 ，B则P 它相对于坐标 系{A}的位置矢量 可由A P矢量相加得出：
机器人学第二章运动学演示文 稿
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
圆柱坐标(cylindrical) : 两个线性平移运动和一个旋转运动 球坐标(spherical) : 一个线性平移运动和两个旋转运动
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
2、方位的描述
为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系{B}与此刚体固接。
用坐标系{B}的三个单位主矢量 ， x ，B y相B 对于z B坐标系{A}的方向余
弦组成的3*3 阶矩阵来表示刚体B相对于{A}的方位：
BAR[AxB AyB AzB]
r11 r12 r13
A B
R
rr3211
r22 r32
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
2、坐标系在固定参考坐标系中的表示
由表示方向的单位向量以及第四 个位置向量来表示
n x o x a x Px
F
n y o y a y Py
n z o z a z Pz
0001
例
a
z
45
o
n
45
P
3
7
5 x
y
n轴与x轴平行，o轴相对于y轴45° a轴相对于z轴45° F坐标系位于参考坐标系3,5,7位置
R(x,)0 cos sin 0 sin cos
重要！
cos 0 sin R(y,) 0 1 0
sin 0 cos
cos sin 0 R(z,)sin cos 0
0 0 1
第二章 机器人运动学 §2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
Frame {A} and frame {B}
{B} is rotated relative to frame {A} about Z
r i j 可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示:
A B
R
的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示
B ARAX ˆB AYˆB AZˆBX X X ˆˆˆB B BX Z YˆˆˆA A A
YˆBX ˆA YˆBYˆA YˆBZˆA
Z Z ˆˆB BX YˆˆA A ZˆBZˆA
为了简单，上式的前置上标被省略。
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
XˆB,YˆB,ZˆB : 表示坐标系 {B}主轴方向的单位矢量.
AX:ˆB相, A对YˆB,于AZˆ坐B 标系 {A}的描述. 将这些单位矢量组成一个 3×3的矩阵，按照
的顺序
.
旋转矩阵:
r11 r12 r13 BARAXˆB AYˆB AZˆBr21 r22 r23
r31 r32 r33
AXˆB, AYˆB, AZˆB
标量 来表示。
可用r i 每j 个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
3、旋转矩阵计算 称BA为R 旋转矩阵，上标A代表参考系{A}，下标B代表被描述的坐
标系{B}。
1 0 0
A x B A x B A y B A y B A z B A z B 1 A x B A y B A y B A z B A z B A x B 0
n o a 1
n o a
2）BA R把矢量在{B}中的坐标表达式变为在{A}中的坐标表达式的变
换矩阵：
APBARBP
3）BA R是正交矩阵，即有：
BART
BARAAYXˆˆBTBT AZˆBT
AXˆB
AYˆB
AZˆB I3
B ARA BR1A BRT
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
4、旋转矩阵性质
1） BA矩R 阵有9个元素，其中只有3个是独立的。因为三个列矢量都 是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的9个元素满足6个约束 条件（正交条件）：