第二十四章 圆 练习题圆 圆1.五个小朋友站成一个圆圈，如图，做一个抢小红旗的游戏，把这只小红旗放在什么位置上才能使这个游戏比较公平，说说你的理由.2. 如图，AB 过圆心O ，且AD OB =，B ∠＝54°，求A ∠的度数.3. 请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的___________个格点．4. 圆O 所在平面上的一点P 到圆O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少5. 求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．6. 证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.（第1题） （第2题） （第3题）垂直于弦的直径1.如图，AB 为O ⊙的弦， O ⊙的半径OE 、OF 分别交AB 于C 、D ，且AC BD =.试问：CE 与DF 的大小有何关系证明你的结论.2.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、353.如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）A 、43cmB 、23cmC 、3cmD 、2cm4.已知O ⊙的半径为13cm ，该圆的弦AB ∥CD ，且AB ＝10cm ，CD ＝24cm ，则AB 和CD 之间的距离为（ ）（A ）17cm （B ）7cm（C ）13cm 或26cm （D ）17cm 或7cm5.当宽为3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读书如图6所示（单位：cm ），那么该圆的半径为 cm.6.已知，O ⊙的半径是5cm ，AB 、CD 是两条平行弦，且AB ＝8cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长•例2图MN E O DCB A为 .7.已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，则BC 边上的高为 .8.如图，有一圆弧形门拱的拱高（弧的中点到弦的距离）为1m ，跨度CD 为4m ，求这个门拱的半径.弧、弦、圆心角1.如图，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么 ．（只需写一个正确的结论）2.如图，AB 是⊙O 的直径，BC CD DE ==，∠COD=35°，求∠AOE 的度数．3.如图,在⊙O 中，AB=AC ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.4.如图，已知AB 是O 的直径，M ，N 分别是OA 和OB 的中点，CM AB ⊥，DM AB ⊥.求证: AC BD =.OCBABCEDOF5.O 中，若2AB CD =，试探索AB 与2CD 的大小关系.3.如图，CD 为O 的直径，以D 点为圆心，DO 长为半径作弧交O 于A 、B .求证：ABC ∆为等边三角形. 圆周角1.如图，AB 和CD 都是⊙0的直径，∠AOC=50°，则∠C＝ （度）.2. 量角器按如图的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为 （度）.，B 是圆O 上的两点，60AOB ∠=，C 是圆O 上不与A 、B 重合的任一点，求ACB ∠＝ （度）.4. 如图，在⊙O 中，A 、B 、C 是圆上三点，若∠BOC=K ∠AOB ， 那么∠CAB 是∠ACB 的 倍 .5.如图，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上一个动点（P 与O 、B 不重合），且点P 在x 轴上方，则OPB ∠= 度.6.如图，C 经过原点，并与坐标轴分别交于A 、D 两点.已知30O OBA ∠=，点D 的坐标为（0，2），则点A 、C 的坐标分别为A 、C .7.如图2，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内OB 上一点，BMO ∠=120，则⊙C 的半径为 .8. 如图①，锐角ABC ∆的三个顶点都在O 上，高AD 、BE 所在直线交于H ，AD 所在直线交O 于G .（1）求证：DH DG =；（2）将“锐角ABC ∆”改为“钝角ABC ∆，BAC ∠为钝角”，其它条件不变，完成图②，试问（1）中的结论是否仍成立证明你的结论.点、直线、圆和圆的位置关系 点和圆的位置关系 1.O 的半径5r =cm ，圆心O 到直线l 的距离3d OD ==cm.在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有4PD =cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm.P 、Q 、R 三点对于O 的位置各是怎样的2.关于三角形外心的说法正确的是（ ）（A ）三角形的外心一定在三角形的外部 （B ）三角形的外心到各边的距离相等 （C ）三角形的外心到三个顶点的距离相等 （D ）三角形的外心到三边中点的距离相等 3. 如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心x y CAO BM是（ ）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M4. 如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．5.O 的半径为1cm ，⊙O 为ABC ∆的外接圆，且BC ＝2cm ，那么A ∠＝ .6.在直角坐标系中，以P （2，1）为圆心，r 为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，求r 的值.7.已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a ，b 是方程2310x x -+=的两根，求Rt △ABC 的外接圆面积．直线和圆的位置关系△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，给出下列三个结论: ①以点C 为圆心，2.3cm 长为半径的圆与AB 相离； ②以点C 为圆心，2.4cm 长为半径的圆与AB 相切； ③以点C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与AB 相交. 则上述结论中正确的个数是（ ）MRQABCP xyABC（第3题） （第4题）A BO C（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个2.如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 与P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现A ． 3次B ．5次C ． 6次D ． 7次3. 如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（ ） (A)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5823, （B ）()13,-（C ）⎪⎭⎫⎝⎛-5954,（D ）()31,-4.已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为ba ab+的是（ ）5.木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB =.若读得BC 长为cm a ，则用 含a 的代数式表示r 为 .6.直线AB 、CD 相交于点O,∠AOC=30，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，开始时，PO=6cm ，如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当⊙P 的运动时间t （秒）满足什么条件时，⊙P 与直线CD 相交xyO11BAOxy A B PCD7. 如图，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)． 动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切第7题图 第8题图 第9题图8. 如图，在△ABC 中，ABC ∠＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED . 求证：DE 是⊙O 的切线.9.已知，如图，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，O 与腰AB 相切于点D .求证：AC 与O 相切.10.如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ⊥，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.FEODA第10题图 第11题图11.如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF ，（1）求证：OD∥BE ；（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系并说明理由． 12.如图14-1至14-4中，两平行线AB,CD 间的距离为6，点M 为AB 上一定点.思考: 如图14-1，圆心为O 的半圆纸片在AB,CD 之间（包括AB,CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α.当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 。

探究一: 在图14-1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是探究二: 将图14-1中的扇形纸片NOP 按下面对α要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB,CD 之间顺时针旋转。

（1）如图14-3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；（2）如图14-4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围.（参考数据：sin49°=43,cos41°=43，tan37°=43） 图14-4图14-3图14-2图14-1αααMB D NO A B CD NOA CD POO A B CMPM M圆和圆的位置关系1.相交两圆的半径分别是为6cm和8cm ，请你写出一个符合条件的圆心距为cm.2.如图，在12×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A的半径为1，B的半径为2，要使A与静止的B相切，那么A由图示位置需向右平移个单位．3.请你类比一条直线和一个圆的三种位置关系，在图①、②、③中，分别各画出一条直线，使它与两个圆都相离、都相切、都相交，并在图④中也画上一条直线，使它与两个圆具有不同于前面3种情况的位置关系．A B4.两同心圆中，大圆半径为9，小圆半径为5，若O 与这两圆都相切，则O 的半径等于 .5.如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a ，0），半径为5．如果两圆内含，那么a 的取值范围是________.6.一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是 .7.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为____________.8.已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有__________个. 正多边形和圆 1.下列说法：①各边相等的多边形是正多边形 ②各边相等的圆内接多边形是正多边形 ③各角相等的圆内接多边形是正多边形 ④正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 其中正确说法的个数为（ ）（A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.（a ，0） xyO · 3 5O NMCB AO NM DCBA O ABCDEMNON MF EDCBA图1 图2 图3 图（n -2）…3.正多边形绕它的中心旋转36°后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形是 正 边形.4.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.5. 如图1、图2、图3、…图(2)n -，M 、N 分别是O 的内接正三角形ABC 、正四边形ABCD ，正五边形ABCDE 、…正n 边形ABCDEF …的边AB 、BC 上的点，且BM CN =，连接OM 、ON . 则图1中MON ∠＝ （度）；图 2 中MON ∠＝ （度）；…；图(2)n -中MON ∠＝ （度）.弧长和扇形面积1.如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于（ ）（Ａ）6π （Ｂ）4π（Ｃ）3π （Ｄ）2π2.如图，水平地面上有一面积为230cm π的扇形OAB ，半径OA =6cm ，且OA 与地面垂直.CA BPDE F在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ） （A ）20cm （B ）24cm （C ）10cm π （D ）30cm π3.如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm ，则这个圆锥的底面半径为（ ）（A ）22cm （B ）2cm（C ）22cm （D ）21cm 4.圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm ，母线长为50cm ，则这样的烟囱帽的侧面积是（ ）． （A ）4000πcm 2（B ）3600πcm 2（C ）2000πcm 2（D ）1000πcm 25.如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ） （A ）60（B ）90 （C ）120（D ）180与圆有关的阴影面积问题1. 如图，在ΔABC 中，BC=4，以A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E,交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40º,AOB则图中阴影部分面积是多少2. 如图，ΔABC 中，∠C 是直角，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 边延长线上的点D 处，则AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积是多少3. 如图，扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形，点C 、E 、D 分别在OA 、OB 、⋂AB 上，过点A 作AF ⊥ED 的延长线于F,若正方形的边长为1，则阴影部分的面积是多少4. A 、B 、C 、D 是圆周上的四个点，⋂AB +⋂CD =⋂AD +⋂BC ,且弦AB=8,弦CD=4，则图中弓形AB 、弓形CD （阴影部分的面积）的面积和是多少5.已知：正方形的边长为10cm,以边长AB 为直径作半圆，将所作半圆向上移动，当半圆的弧与边CD 相切时停止运动，求扫过阴影部分的面积ABOC DEFOA BCD10cm【随堂检测】1.如图，A ⊙和B ⊙都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ．2.如图，ABCD 是边长为________的一个正方形，、⋂EF ⋂HG 、 ⋂EH 、⋂FG 都是半径为4的圆弧，且⋂EH 、⋂FG 分别与AB 、AD 、BC 、DC 相切，则阴影部分的面积=________3.如图，AD 是圆O 的直径，A 、B 、C 、D 、E 、F 顺次六等分圆O ，已知圆O 的半径为 ，P 为直径AD 上任意一点，则图中阴影部分的面积为______。