1．正弦定理和余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .1.在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .2.在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，⇔2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2，3.在△ABC 中,三角形三边关系：a+b>c; a-b<c4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝π3，A ＋C ＝2π3.5．在斜△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a co7.在△ABC 中，Bb a B B A B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin ,2=⇒=⇒==则8.C bc bc c b C bc bc c b C bc c b a cos 22)(cos 22)(cos 222222-+-=--+=-+=1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2bcos C ＝2a ＋c. (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcos A ＝(2c －a)cosB.(1)求B ； (2)若b ＝13，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．3．（2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． (1)求cos B ( 2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．3：已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C b c +--= （1）求A ；（2）若2a =，求sinB+sinC 的范围，（3） 若2a = 求b+c 的范围 ， （4）若2a =,求ABC ∆面积的最大值．4.设锐角ABC的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且1,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A.B.( C.) D. ()0,21．在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( )A ．23 B ．12 C ．27 D ．28 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A.15 B.59 C.53D ．13．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝________. 5在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．6．已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c ＝________. 7.(2019·莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π68.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .①求角A 的大小； ②若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．8．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30C.29 D ．259．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则A ＝________.10．(2019·开封模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C .2sin()8sin 2B AC +=(1)求C ；(2)若a ＝2，b ＝22，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ，求CD 的长．考点二与三角形面积有关的问题(2019·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且 2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积．11．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π612．(2019·沈阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π3，△ABC 的面积为1534，则cos 2A ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos A ＝(2c －a )cos B.(1)求B ； (2)若b ＝13，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长． 考点三平面图形中的计算问题4.如图所示，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为()A ．30°B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2Ccos C ＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝(A ．2 B ．3C ．43．()在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝ac ，a 2＋bc ＝c 2＋ac ，则cb sin B 的值为( )A.12B.32 C ．2 D.2334．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形5．(2019·四平质检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7 B ．12 C ．10＋7D ．5＋276．(2019·太原模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ，则CD ＝________.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝bcos B ，则△ABC 的面积等于．8．(在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b ＞c ，则bc＝_____.9．(2019·惠州调研)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小； (2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．10(2017·Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝___.11.(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π313.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π314.(2019·郑州二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D.6(15.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确 16△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ； (2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 2．在△ABC 中，若b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 的形状为3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形 D ．钝角三角形4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．335．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A .(1)求cos A 的值． (2)求c 的值．6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A 的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．7.在△ABC 中,已知asinA-csinC=（a-b ）sinB, △ABC 外接圆的半径为．（1）求C ； （2）求△ABC 的面积S 的最大值．。