知识回顾:4、理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ；（2）」 b J 等价于 ______________________sin A sin B sin C(3) 正弦定理的基本作用为:正弦、余弦定理1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 cc c 角形ABC 中，-?-sin A b sin Bc si nC2、当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义,有 CD=asinB bsinA ，则 一-b，同理可得一sin A sin B sin Cb sin B从而」-sin A b sin Bc sin C3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的____ 的比相等，即旦sin A b sin Bc sin Cc b a csin C sin B ' sin A sin C① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； bsin B② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A a sin B ； sinC.b(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形•5、知识拓展6、 勾股定理： ___________________________________7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 ___________________________ 的两倍，即a 2b 2 8、余弦定理的推论:cosC ____________________________ 。

9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题:a b sin A sin Bc si nC2R ，其中2R 为外接圆直径.c 2cosAcosB例1、在ABC中，已知A 45o, B 60o, a 42cm,解三角形.例2、(1)在厶ABC中，已知a=2, b= ' 2, c= ■ 3+1求cosB.(2)在厶ABC中，已知a=3'3, c=2 、B=15C°求b.(3)在厶ABC中，已知a=8, b= 4、2、B=3C0求 c. 例3、在ABC中，b , 3, B 60°,c 1,求a和代C解：.b csin B sinCsin C ..b2c2 2例4、ABC 中，c解:a csin A sinC600时，B 750,bb ,3 2450,a 2,求b和B,Ccsin A .6 sin 45 0 3a2 2csin B > 6 sin7503 1si nC sin 60°csin B 1,6, Asin C1 sin 600例5、在厶ABC中，求证:cosB cos A c(2 2 2证明：将cosB n厂，cosAb2 2 c2bc代入右边2 2.2 .2 得右边°（益亠- c2 a2) 2a2 2b22abc 2ab例6、证明:例7、2 2a b a b 亠、丄左边,ab b aa b , cosBb ；c(HT在锐角△ ABC中，求证:•••△ ABC是锐角三角形,• sin A sin(— B),2sin A sin B sinC在厶ABC中,证明：sin A sin• sin A 例8 在厶ABC中,cosA)asin A sinB sinC cosAB —,即一A —2 2 2即sinAcosA求证：sin A sin BcosB cosCcosB ;同理sin BcosB cosCcosC ; sin CA _ _sinC 4cos cos二cos二。

2cosAB sinc 2sin B sin(A2 2sin BABCsinC 4 cos cos cos—2 2 2B)1200，则求证：汽证明：要证一$b c a c 只要证ab2 2a acb be bc acc2即a2 b2 c2ab而I A B 1200, • C 600•原式成立。

C 例9、在厶ABC中，若 a cos2C22 Accos —23b，则求证: 2b2C 2 A 3b a cos ccos -2 2 21 cosC 1 cos A 3sin B--sin A ------------- sin C -------------- ------------2 2 2即 sin A sin AcosC sinC sinCcosA 3sinBsin A si nC sin (A C) 3s in B.等腰或直角三角形例11、中，a 、b 、c 分别为内角A B 、C 的对边,且 2 a si nA (2 b c)si nB (2 c b)si nC(I)求A 的大小;(U)若sin B sinC 1，试判断 ABC 的形状.解：(I)由已知，根据正弦定理得2a 2(2b c)b (2c即 a 2 b 2 c 2 bc由余弦定理得a 2 b 2 c 2 2bccosA即sin A sinC 2sin B ，二 a c 2b例10、在厶ABC 中，若(a 2 b 2)si n(A B) (a 2 b 2)si n(A B)，请判断三角形的形状。

解:a 2b 2 a 2 b 222sin (A B) asi nAcosB sin A ,~22sin (A B) bcos As in B sin Bb)c1故 cos A, A 120 2(U)由(I)得 si n 1 2A si n 2 B si n 2c si nBsi n c.1又 sin B sinC 1，得 sin B sinC -2因为 0 B 90 ,0 C 90 ,故B C所以ABC 是等腰的钝角三角形。

例 12、在 ABC 内 接于半径为 R 的圆，且 2R(si n 2A sin 2C) (、..2a b)si n B,求厶ABC 的面积的最大值。

2cos(A+B)=1解: 2Rs in A si nA 2Rsi nC sinC (迈a b)sin B,例13、ABC 勺三边a b c 且a c2b, A C ，求 a: b: c2A C 解: si nA sine 2si nB ,2S inA cos —— 224sin —cos —2 2例 14、C 中, BC=a, AC=b, a, b 是方程x 22 3x2 0的两个根，且求(1)角C 的度数 (2) AB 的长度(3) △ ABC 的面积(2)由题设：a b 23a b 2••• AB=AC+BC?2AC?BC?osC a 2a 2b 2 ab (a b)2 ab (2..3)2 2 102b 2ab cos120(3)1S A AB (= absi nC2absi n12021 ,3 3 —2 ----- ------ 2 2 2课后小结:ab c sin Asin Bsin C2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义,还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法3 •应用正弦定理解三角形:① 已知两角和一边；② 已知两边和其中一边的对课后练习:一、选择题1. 在△ ABC 中，若 C 900,a 6,B 300，则 c b 等于(A. 1 B . 1 C . 2 3 D . 2 3即 AB=101.正弦定理:2•若A为厶ABC的内角，贝U下列函数中一定取正值的是（A. si nA B . cosA1C. tan A D . --------------tan A3. 在△ ABC中，角代B均为锐角，且cosA sin B,则厶ABC的形状是（）A.直角三角形 B .锐角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是,3，这条高与底边的夹角为600, 则底边长为（）A. 2 B .三C . 3 D . 2 .325. 在△ ABC中，若b 2asinB，则A等于（）A. 300或600 B . 450或60°C . 1200或600D . 300或15006 .边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A . 900B . 1200C. 135°D . 150°、填空题1. _________________________________________________________ 在Rt △ ABC中，C 90°，则sinAsin B的最大值是_________________________ 。

2. __________________________________________ 在△ ABC中，若a2 b2be c2,则A ____________________________________ 。

3. ______________________________________________ 在△ ABC中，若b 2,B 300,C 135°,则a ________________________________ 。

4. ______________________________________________________________ 在△ ABC中，若sin A : sinB : sinC 7 : 8 : 13，贝U C_______________________________________________________________。

5.在△ ABC中, AB 6 2, C 300，则AC BC的最大值是三、解答题15. 在△ ABC中，已知 b 2，c=1，B 45，求a，A，C.16. 在△ ABC中, a+b=1，A=60），B=45），求a，b17. 在厶ABC中, S VABC 12,3，ac 48，a c 2，求b.18.如图，在四边形ABC冲,△ ADF旦3，求AB的长.219、B C中，A吐5，AC=3,解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD= DC=-,22 2 2在厶 ADC 中, cosADG= AD DC2 AD DC又/ AD 聊/ ADC= 180/. cosADB= cos (180°—/ ADC =— cosADC解得，x = 2,所以，BC 边长为2.、选择题b1. C - tan300,b atan30°2.3, c 2b 4 .N,c b 2 3a在厶ADB 中,cosADB= AD 2 BD 2 AB 22 AD BD42 (2)2 523.Ccos A sin( A)2sin辽A,B 都是锐角，则-AB,A B 2'C4.D 作出图形5.Db 2asin B,sin B12sin As in B,sin A A 30° 或 150026.B 设中间角为，则cos 52 8271 2600,1800 600 1200 为所求42 (2)2 32、填空题1 1sin AsinB sin AcosA -sin 2A -224. 120° a : b : c si nA : si nB : si nC 7 : 8 : 13,第二讲 正弦、余弦定理的应用例1、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为，沿BE 方向前进30m 至点C 处测得 顶端A 的仰角为2 ，再继续前进10.3m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4 ，求的大小和 建筑物AE 的高。