正弦、余弦定理知识回忆：1、直角三角形中，角与边的等式关系：在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==． 2、当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c bC B=， 从而sin sin a bA B =sin c C=． 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=． 4、理解定理〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； 〔2〕sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B=，sin a A =sin c C ． 〔3〕正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b=；sin C = ．〔4〕一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 5、知识拓展sin sin a b A B =2sin cR C==，其中2R 为外接圆直径. 6、勾股定理：7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2a ；=2b ；=2c 。

8、余弦定理的推论：=A cos ；=B cos ； =C cos 。

9、在，反之成立；则中，若,222c b a ABC +<∆ ，反之成立；则中，若,222c b a ABC +=∆，反之成立；则中，若,222c b a ABC +>∆ 典型例题：例1、在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．例2、〔1〕在△ABC 中，已知1 求cosB.〔2〕在△ABC 中，已知a=、B=1500求b.〔3〕在△ABC 中，已知a=8, b=B=300求c.例3、在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+=c b a例4、C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例5、 在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=- 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bca cb A 2cos 222-+=代入右边得右边2222222222()222a c b b c a a b c abc abc ab+-+--=-=22a b a bab b a-==-=左边，∴)cos cos (aA bB c a b b a -=- 例6、 在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>->∴sin sin()2A B π>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++例7、 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin CB AC B A =++。

证明：∵sin sin sin 2sin cos sin()22A B A BA B C A B +-++=++ 2sin cos 2sin cos 2222A B A B A B A B+-++=+ 2sin (cos cos )222A B A B A B+-+=+ 2cos 2cos cos 222C A B=⋅4cos cos cos 222A B C=∴2cos 2cos 2cos 4sin sin sin CB AC B A =++例8、 在△ABC 中，假设0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a 。

证明：要证1=+++c a b c b a ，只要证2221a ac b bc ab bc ac c +++=+++， 即222a b c ab +-= 而∵0120,A B +=∴060C =2222220cos ,2cos602a b c C a b c ab ab ab+-=+-==∴原式成立。

例9、在△ABC 中，假设223cos cos 222C A b a c +=，则求证：2a c b += 证明：∵223cos cos 222C A ba c +=∴1cos 1cos 3sin sin sin 222C A BA C ++⋅+⋅= 即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C AB +++=∴sin sin sin()3sin A C A C B +++=即sin sin 2sin A C B +=，∴2a c b +=例10、在△ABC 中，假设)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。

解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B++===--cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B AA B A B A B A Bπ===+=或2 ∴等腰或直角三角形例11、中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++〔Ⅰ〕求A 的大小；〔Ⅱ〕假设sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.解：〔Ⅰ〕由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++= 即bc c b a ++=222由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=故︒=-=120,21cos A A〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得.sin sin sin sin sin 222C B C B A ++= 又1sin sin =+C B ，得21sin sin ==C B 因为︒<<︒︒<<︒900,900C B ， 故B C =所以ABC ∆是等腰的钝角三角形。

例12、 在ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=- 求△ABC 的面积的最大值。

解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ⋅-⋅=-222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-222222,cos 452a b c a b c C C ab +-+-====2222,2sin ,2,sin cR c R C a b R C===+-= 222222,R a b ab ab +=+≥≤21sin244S ab C ab ==≤2max 212R S +=例13、 ABC 的三边c b a >>且2,2π=-=+C A b c a ，求::a b c解：sin sin 2sin ,2sincos 4sin cos 2222A C A C A C A CA CB +-+++==1sincos 2sin cos 222222B A C B B B B -=====3,,,24242B BA C A CB AC ππππ-=+=-=-=-333sin sin()sin cos cos sin 444A B B B πππ=-=-=sin sin()sin cos cos sin 444C B B B πππ=-=-= ::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-+例14、C 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1求〔1〕角C 的度数 〔2〕AB 的长度 〔3〕△ABC 的面积解：〔1〕cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21∴C=120︒〔2〕由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC 120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=10〔3〕S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab 课后小结： 1. 正弦定理：sin sin a bA B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． 课后练习： 一、选择题1．在△ABC 中，假设0030,6,90===B a C ，则b c -等于〔 〕 A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．假设A 为△ABC 的内角，则以下函数中一定取正值的是〔 〕 A ．A sin B ．A cosC ．A tanD ．A tan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是〔 〕A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060， 则底边长为〔 〕A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，假设B a b sin 2=，则A 等于〔 〕 A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是〔 〕 A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。