解三角形三类经典类型类型一 判断三角形形状类型二 求范围与最值类型三 求值专题类型一 判断三角形形状例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状．C B A 222sin sin sin +=解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin B=sin C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C22由 得 ∴三角形为等腰直角三角形．C B A 222sin sin sin +=222c b a +=例２：在△ABC 中，若Ｂ=，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.60解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=得sinA+sinC=603由三角形内角和定理知sinA+sin()=,整理得 sin(A+)=1A -120330∴A+,所以三角形为等边三角形.60,9030==A 即例3：在△ABC 中，已知，试判断△ABC 的形状．22tan tan b a B A =解：法1：由题意得 ，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即BAA B B A 22sin sin cos sin cos sin =sin2A=sin2B∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．2π=+B A 法2：由已知得结合正、余弦定理得，22cos sin cos sin b a A B B A =2222222222b a bca cb b ac b c a a =-+⋅-+⋅整理得 ∴ 0))((22222=-+-c b a b a 22222cb a b a =+=或即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；（2）已知sinA=，试判断三角形的形状．CB CB cos cos sin sin ++解：(1)由三角形内角和定理得　sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形.(2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得，化简整理得 c b abc b a a ac b c a a +=-+⋅+-+⋅222222220))((222=+--c b c b a ∴即三角形为直角三角形．222c b a +=例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状．（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状．解：（1）由已知结合余弦定理可得，整理得bca cbc ac b c a c b a 22222222-+⋅--+⋅=- ∴，∴三角形为等腰三角形或直角三角形0))((222=-+-c b a b a 222c b a b a =+=或（2）由b=asinC 可知，由c=acosB 可知整理得A B C a b sin sin sin ==acb c a a c 2222-+⋅=，即三角形一定是直角三角形，∠A=，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC222a c b =+ 90为等腰直角三角形．例6：已知△ABC 中，，且，判断三角形的形状．54cos =A 3:2:1)2(::)2(=+-c b a 解：由题意令，则)0(32,2,2>=+==-k k c k b k a 23,2,2-==+=k c k b k a ∵,由余弦定理得 ∴ ∴ 即△ABC 为直54cos =A 4=k 10,8,6===c b a 222c b a =+角三角形．7.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，，则△ABC 的形状为ccb A 22cos 2+=______8.在ABC 中，若，则A= ∆tan 2,tan A c bB b-=类型二 求范围与最值1、在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足bc a c b =-+222，0>⋅BC AB ,23=a ,则cb +的取值范围是 2、在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则＋的b c cb 最大值是________．解析　因为AD ＝BC ＝a ，由a 2＝bc sin A ，解得sin A ＝，再由余弦定理得cos A ＝1212a 2bc，得＋＝2cos A＋sin A，又b2＋c2－a22bc211(sin)22b c a b cAc b bc c b⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭bccbA∈(0，π)，最大值为5解析几何或者几何法1解析几何法：,BC2,AB,ABC ABC∆==∆求面积的最大值。

2几何法：ABC∆，知道B C=4，A C B的范围。

方程有解，利用判别式求范围。

附例：4、已知中，B=，且有两解，则边a的取值范围是ABC∆3,3=bπABC∆5、借力打力型求取值范围附例：钝角三角形中，，若最大边和最小边长的比为m，则m的取值范围是3Bπ=+-33ππαα设钝角三角形的另外两个角是6、已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是7、在△ABC中若,则的取值范围2C B∠=∠ABAC8、已知中，B=，且有一解，则边a的取值范围是ABC∆3,3=bπABC∆9、已知中,,若该三角形有两解,则的取值范围是ABC∆,2,45a xb B=== x10、钝角三角形ABC的三边长为a,a+1,a+2()，则a=a N∈11、在锐角中，，，则的取值范围为 .ABC∆1BC=2B A=AC12、设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，ABC∆cba,,且，，则为CBA>>CA2=CBA sin:sin:sin14、在锐角三角形中，，则的取值范围是ABC∆BA2=cbb+)21,31( BACacb15、在锐角三角形中，，C 既不是最大角，也不是最小角，求kABC ∆kb ac S 22)(--=值取值范围________. ， )90,45(,2tan4 ∈=C Ck )4,424(-∈k 16. 在钝角三角形中，已知则的取值范围为ABC ∆,2,1==b a c )3,5()3,1(⋃类型三 求值专题1、在△ABC 中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC 的最大角与最小角之和是 .2、在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.3、在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝，∠ADB ＝135°，若AC ＝AB ，则22BD ＝________.解析：∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)，解得a ＝k ，b ＝k ，c ＝k ，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.答案：7∶5∶37252324、钝角三角形边长为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．5、在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b 且最大内角为120，则a= .6、如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是________．7、在△ABC 中，若C ＝30°，AC ＝3，AB ＝3，则△ABC 的面积为________．3解析：由正弦定理得：＝，sin B ＝sin C ＝·＝，所以B ＝60°或120°.ABsin C ACsin B ACAB 3331232当B ＝60°时，S △＝AB ×AC ＝·3·3＝；当B ＝120°时，S △12123932＝AB ×AC ·sin30°＝.12934答案：或9329348、仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入附例：在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若＋＝6cosC ，则b a ab ＋的值是____4____tan C tan A tan Ctan B 9 海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是 海里.10．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是 小时.11、在中，若A ＝600，，则__________． 4ABC ∆a =23sin 2sin 3sin a b cA B C++=++12、在ABC 中，三边a ，b ，c 与面积s 的关系式为则角C 为∆2221(),4s a b c =+-.4513、在中，在ABC 中，若，求. ABC ∆∆tan 2,tan A c bB b-=A 解：由正弦定理知，，C R c sin 2=B b sin =B B C BB A Asin sin sin 2cos sin cos sin -=∴1sin sin 2-=B C，，，BCB A B A sin sin 21sin cos cos sin =+∴B C A B B A sin sin 2cos sin )sin(=+∴B C A B C sin sin 2cos sin sin =∴ ，.21cos =∴A 3π=∴A。