等式两端同时对 x 求导, 得
在Fy 0的条件下,解得
Fx
1+Fy
dy dx
=0
dy Fx dx Fy
(2) F ( x, y, z) 0
设该方程确定了函数:z z( x, y)即
F[x, y, z( x, y)] 0
等式两端同时对 x 求偏导, 得
Fx 1
+Fy
0
+ Fz
z x
=0
在Fz 0的条件下,解得
u0 u(x0, y0), v0 v(x0, y0), 并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv x J ( x, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx v 1 (F ,G) Gu Gx x J (u, x) Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
u 1 (F ,G) G y Gv
方程组两端同时对 x 求偏导，得
Fx 1 +
Gx 1+
Fy 0
+
Fu
u x
+
Fv
v x
Gy
0
+
Gu
u x
+ Gv
v x
0 0
即
Fu
u x
Gu
u x
+
Fv
v x
+ Gv
v x
Fx Gx
在 Fu Fv 0的条件下, 解得
Gu Gv
Fx Fv
u Gx Gv x Fu Fv
Gu Gv
在点 (x0, y0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续
且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 y0 f (x0) ，
并有
dy Fx （1） dx Fy
隐函数存在定理2 设函数 F(x, y, z)在点P(x0, y0, z0)
的某一邻域内具有连续偏导数，且 F (x0, y0, z0) 0,
= Gx Gz
Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
Fy Fx
dz G y Gx dx Fy Fz
Gy Gz
Fy Fx
= Gy Gx
Fy Fz Gy Gz
F ( x, y, u, v) 0 (2) G( x, y, u, v) 0
设该方程组确定了:
u u( x, y), v v( x, y)
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
一、隐函数存在定理简介
隐函数:由方程所确定的函数
1.一个方程的情形
隐函数存在定理1
设函数F(x,y)在点 P(x0, y0 ) 的某一邻域内具有连续
偏导数,且 F (x0, y0) 0, Fy (x0, y0) 0, 则方程 F (x, y) 0
Fx Fv
= Gx Gv
Fu Fv Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx x Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
= Gu Gx
Fu Fv Gu Gv
同理, 方程组两边同时对 y 求偏导,可得
Fx 0 Gx 0
+ +
Fy 1 + Fu Gy 1 + Gu
u y u y
+ Fv + Gv
方程组两端同时对 x 求导，得
Fx
1
+
Fy
dy dx
G
x
1
+G
y
dy dx
+
Fz
dz dx
+
Gz
dz dx
0 0
即
F
y
dy dx
G
y
dy dx
+
Fz
dz dx
+Gz
dz dx
Fx Gx
在 Fy Fz 0的条件下,解得
Gy Gz
Fx Fz
dy Gx Gz dx Fy Fz
Fx Fz
Fu Fy
= Gu G y
Fu Fv Gu Gv
作业:习题 8-5A/1(2); 2(3);8(3)
例题:见课本例5 练习:习题8-5A/8(1)
(3)
y J ( y, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fy v 1 (F ,G) Gu G y y J (u, y) Fu Fv
Gu Gv
二、隐函数的求导法
下面，总假设隐函数存在且可导，在此前提下来讨论 求隐函数的导数或偏导数的方法。
1、一个方程的情形
(1) F ( x, y) 0
设该方程确定了函数: y y( x)即 F[x, y( x)] 0
Fx1 +Fy
0 +Fz
0 +Fu
u x
=
0在Fu 0的条ຫໍສະໝຸດ 下,解得u Fx x Fu
类似可得
u y
Fy Fu
u Fz z Fu
例题:见课本例2-5 练习:习题8-5A/1(1);2(1)
2.方程组的情形
F(x, y, z) 0 (1) G(x, y, z) 0
设该方程组确定了
y y(x) z z(x)
v y v y
0 0
即
Fu
u y
+
Fv
v y
Gu
u y
+ Gv
v y
Fy Gy
在 Fu Fv 0的条件下,解得
Gu Gv
Fy Fv
u G y Gv y Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
= G y Gv
Fu Fv Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx y Fu Fv
Gu Gv
Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F(x,y,z)=0在点 (x0, y0, z0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏
导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 z0 f (x0, y0),并有
z Fx z Fy x Fz y Fz
(2)
2、方程组的情形
隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 P(x0, y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏 导数，又F (x0, y0,u0,v0) 0, G(x0, y0,u0,v0) 0, 且偏 导数所组成的函数行列式[或称雅可比(Jacobi)式]：
J (F,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
在点 P(x0, y0,u0,v0) 不等于零，则
方程组
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
在点(x0, y0,u0, v0)
的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏
导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件
z Fx
x
Fz
等式两端同时对 y 求偏导, 得
Fx 0
+Fy
1
+Fz
z y
=0
在Fz 0的条件下,解得 z Fy
y
Fz
(3) F( x, y, z, u) 0
设该方程确定了函数: u u( x, y, z) 即
F[x, y, z, u( x, y, z)] 0
等式两端同时对 x 求偏导, 得