专 题 函数与方程综合复习教学目标理解函数零点的概念，掌握函数零点的求法理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

重点、难点函数零点与方程根的关系运用二分法求方程的近似解，用二分法求方程的近似解的步骤 考点及考试要求结合二次函数的图像，了解函数的零点和方程根的关系，判断一二次函数根的存在性及根的个数（2)根据具函数的图像，能够用二分法求相应方程的近示解教学知识框架1理解二次函数根与系数的关系 2了解函数的零点与根的关系3掌握二分法求相应方程的近示解考点一:方程的根与函数的零点典型例题1二次函数的性质的应用 例1.已知函数212()325f x x x =--- （1）求函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点坐标（2） 求函数的单调区间、最值、零点（3)设图像与x 轴相交与（x 2，0）（x 1，0）求12x x -的值(4) 已知71815(),()254f f -=-不计算函数值，求的值(5)不计算函数值，试比较115f ()()44f --与的大小2一次函数与二次函数的零点例2.函数()f ()1-1,1x kx =+在区间上存在零点，求k 的取值范围例3二次函数y=ax 2+bx+c 中，a.c <0则函数的零点的个数是 3函数零点的应用（1)有关方程根的个数的应用例4.已知对于一切实数x ∈R ，函数f(x)=f(x-2)成立，且方程f(x)=0有五个不同的实根，则这五个实根的和为 （2）利用函数零点解不等式例5.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的部分对应值如下表x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax 2+bx+c >0的解集是(3)利用函数的零点作函数的简图例6.已知函数f(x)=x 3-4x,①求函数的零点并画出函数的大致草图 ②解不等式xf(x)<0（4）利用零点所在的区间求参数的取值范围例7实数a 在什么范围内取值时，函数f(x)=3x 2-5x+a 的一个零点位于区间（ -2,0） 内，另一个零点位于区间（ 1,3） 内？知识概括、方法总结与易错点分析 1.函数零点的求法（1）代数法：求方程f(x)=0的实数根（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点 2.利用零点作函数图像的步骤如下（1）求函数的零点（求三次函数零点的关键是因式分解）（2)零点把x 轴分成多个区间，如有三个零点x 1、x 2、x 3,则把x 轴分成四个区间（-∞，x 1）、（x 1,x 2）、（x 2,x 3）、（x 3,+∞）（3）取值，列表，如在上述4个区间内去x 的一些值（包括零点），列出这些点对应值的表针对性练习 1函数f(x)=2x +3x 的零点所在的一个区间是 （ ） A (-2，-1) B (-1,0) C. (0,1) D (1,2)2若函数f(x)=a x -x-a (a >0,且a ≠1 )有两个零点，则实数a 取值范围3已知关于x 的方程（x-1）（3-x)=a-x (a ∈R),试讨论方程实数根的个数考点二：用二分法求方程的近示解典型例题1．求函数22)(3--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）． 例2：判断方程0133=-+x x在区间（0，1）内是否有解？若有，求近似解例3：2008年10月4日下午5时，台风“海高斯”在广东吴川市的大山江镇登陆，次日该市某山区发现从水库闸房到防台指挥部的用电线路某一处发生了故障，这是一条10km 长的线路，每隔50m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，问如何快速找到被毁坏的电线杆？知识概括、方法总结与易错点分析 1、二分法的定义：对于在区间［a.b ］上连续不断且f(a) f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2、二分法及步骤： 对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； 2．求区间a (，)b 的中点1x ； 3．计算)(1x f ：○1 若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ○2 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ○3 若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；4．判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 精确度ε： 指 x 0 所在区间的长度小于所给正数ε ，则称ε为精确度 规定 取区间的端点为x 0 的近似解,这种解题方法就是二分法。

注意：求近似解应有精确度，根据精确度来确定计算次数（方法：12n ε≤， n 是次数）。

例如：若精确度为0.1，通过取四次中点就可达到x 0 的近似解. 若给定精确度为0.01取7次即可达到．若给定精确度为0.001取10次即可达到．针对性练习： 1.已知函数 124)1(2)(2-+++=m mx x m x f ．（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点？ （2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值．考点三：函数与方程、不等式例1．已知：函数)1(2)(2<<++=b c c bx x x f ，0)1(=f ，且方程01)(=+x f 有实根。

（１）求证：31c -<≤-且0b ≥；（２）若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明。

【解析】：（1）210210)1(+-=⇒=++⇒=c b c b f ， 又c ＜b ＜1，故313121-<<-⇒<+-<c c c方程f （x ）＋1＝0有实根，即0122=+++c bx x 有实根，故△＝0)1(442≥+-c b 即30)1(4)1(2≥⇒≥+-+c c c 或1-≤c 又c ＜b ＜1，得-3＜c ≤-1，由21+-=c b 知0≥b ． （2）)1)(()1(2)(22--=++-=++=x c x c x c x c bx x x f ，01)(<-=m f ，∴ c ＜m ＜1 ∴ c m c <-<-<-344，∴ 0)14)(4()4(>----=-m c m m f ， ∴ )4(-m f 的符号为正。

例2．已知：a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[-1,1]上有零点,求a 的取值范围.【解析】若0a =,则()23f x x =-,令3()0[1,1]2f x x =⇒=∉-,不符题意, 故0a ≠当()f x 在 [-1,1]上有一个零点时,此时48(3)01112a a a ∆=++=⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩或(1)(1)0f f -⋅≤ 解得372a --=或15a ≤≤ 当()f x 在[-1,1]上有两个零点时,则48(3)01112(1)(1)0a a a f f ∆=++>⎧⎪⎪-≤-≤⎨⎪-⋅>⎪⎩解得373722112215a a a a a a ⎧---+<<⎪⎪⎪≤-≥⎨⎪<>⎪⎪⎩或或或 即3711522a a a --<≤<>或或，∴实数a 的取值范围为371(,][,)22---∞+∞. (别解:222230(21)32ax x a x a x +--=⇔-=-,题意转化为知[1,1]x ∈-求23221xa x -=-的值域,令32[1,5]t x =-∈得276a t t=+-转化为对号函数问题.)题组一函数零点的判定1.若函数f (x )2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定2.设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[－2，－1] D.[－1,0]3.(2010·苏北三市联考)若方程ln x ＋2x －10＝0的解为x 0，则不小于x 0的小整数是 .题组二函数零点的求法4.(2009·福建高考0.25，则f (x )可以是 ( ) A.f (x )＝4x －1 B.f (x )＝(x －1)2 C.f (x )＝e x －1 D.f (x )＝ln(x －12)5.f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.26.设函数f (x )＝[)2221,,2x x x x x ⎧-∈+∞⎪⎨-∈∞⎪⎩(-,1)则函数F (x )＝f (x )－14的零点是 .知识概括、方法总结与易错点分析函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

针对性练习1.方程lgx ＋x ＝3的解所在的区间为_____。

A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)2.如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。

A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)3.已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a 是常数) ______。

A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论题组三 函数零点的应用A.1个B.2个C.0个D.不确定8.已知函数f (x )＝x |x －4|－5，则当方程f (x )＝a 有三个根时，实数a 的取值范围是 . A.－5＜a ＜－1 B.－5≤a ≤－1 C.a ＜－5 D.a ＞－19.(2009·山东高考)若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .10.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12＜t ＜34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根.11.已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围.题组四用二分法求近示解12求函数3()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的一个零点（精确到0.1）．13：已知函数28()f x x x=+，证明方程()()f x f a =（a >3）有三个实数答案1解析：若函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f (－2)f (2)<0.若不是变号零点，则f (－2)f (2)>0. 答案：D2解析：∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0， f (0)＝30－0＝1>0，∴函数f (x )＝3x －x 2在区间[－1,0]内存在零点.答案：D3解析：令f (x )＝lnx ＋2x －10，则f (5)＝ln5＞0，f (4)＝ln4－2＜0 ∴4＜x 0＜5∴不小于x 0的最小整数是5. 答案：54解析：∵4个选项中的零点是确定的.A ：x ＝14；B ：x ＝1；C ：x ＝0；D ：x ＝32.又∵g (0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，g (12)＝124＋2×12－2＝1＞0， ∴g (x )＝4x ＋2x －2的零点介于(0，12)之间.从而选A.答案：A5解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0. 答案：B6解析：当x ≥1时，f (x )－14＝2x －2－14＝2x －94＝0，∴x ＝98.当x ＜1时，x 2－2x －14＝0，∵Δ＝4＋1＞0， ∴x ＝2±4＋12＝2±52，又∵x ＜1，∴x ＝2－52. ∴函数F (x )＝f (x )－14有两个零点98和2－52. 答案：98，2－527解析：∵c ＝f (0)，∴ac ＝a ·f (0)<0.∴a与f (0)异号，即><>,<a a f f ⎧⎧⎨⎨⎩⎩00,或(0)0(0)0.∴函数必有两个零点. 答案：B8解析：f (x )＝x |x －4|－5＝2245,4<,45,4x x x x x x ⎧--⎪⎨-+-⎪⎩≥在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y ＝a 与该函数的图象有三个交点时，a 的取值范围是－5<a <－1. 答案：A9解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10解：(1)证明：由f (1)＝1知f (x )＝1必有实数根.(2)当12＜t ＜34时，因为f (－1)＝3－4t ＝4(34－t )＞0， f (0)＝1－2t ＝2(12－t )＜0，f (12)＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t ＞0， 所以方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根.11解：若a ＝0，则f (x )＝2x －3显然在[－1,1]上没有零点，所以a ≠0.令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.①当a ＝－3－72时，y ＝f (x )恰有一个零点在[－1,1]上；而a ＝－3＋72时，经检验不符合要求.②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)≤0时，得1≤a ≤5，因当a ＝5时，方程f (x )＝0在[－1,1] 上有两个相异实根，故1≤a ＜5时，y ＝f (x )在[－1,1]上恰有一个零点； ③当y ＝f (x )在[－1,1]上有两个零点时，则228244824411111><><<<1,221111<<a a a a a a a a f f f f ⎧⎧⎪⎪∆=++∆=++⎪⎪⎪⎪⎪⎪----⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩0000或()≥0()≤0(-)≥0(-)≤0 解得a ≥5或a ＜－3－72.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≥1或a ≤－3－72}.12解：因为(1)11110f =--=-<，(1.5) 3.375 1.510.8750f =--=> ，所以()f x 在区间[1，1.5]上存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 端（中）点坐标 中点函数值符号 零点所在区间[1,1.5] 1.25 f (1.25)<0 [1.25,1.5] 1.375f (1.375)>0[1.25,1.375]1.3125 f (1.3125)<0 [1.3125,1.375] 因为|1.375 1.3125|0.06250.1-=<，函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内，故函数零点的近似值为1.3125.13证明：由2288()(),f x f a x a x a=+=+得，即8()()0x a x a ax-+-=， 有一根a x =，另外2280,3ax a x a +-=>当时，324>+=∆a a ，即方程2280ax a x +-=有两个根，验证a 不是方程2280ax a x +-=的根，故原方程有三个实数根.。