所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
所以 a
+ 2
b
ab成立
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证 过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方 法叫做分析法．
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B
学会语言转换
文字语言
找出隐含条件 图形语言
符号语言
分析法
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2 Q2 Q3
… Qn Q
特点:“由因导果”
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等 差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ 为等边三角形．
分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?A C 2B B 600(为什么?)
例3.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
求证:
1 - tan2α= 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示 为:P89
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常 用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径， 则用综合法，否则用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析 法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中 要注意语言的规范性和逻辑性.
3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在 证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法， 用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已 知与结论的连结点.
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2 ≥2ac,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经 过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法（顺推证法）
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
2.2.1 综合法和分析法
推理
合情推理
（或然性推理）Biblioteka 演绎推理 （必然性推理）归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
例2 求证 3 7 2 5
解:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7)2 (2 5)2
展开,只需证 21 5
只需证 21<25 因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.