Q1⇒Q2 →
框
Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
图
表 (P表示_已__知__条__件____、已有
示 的__定__义___、__公__理___、 __定__理____等，Q表示
__所__要__证__明__的__结__论______
第二章 推理与证明
分析法
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第二章 推理与证明
综合法
分析法
特点
顺推证法或由 逆推证法或执
因导果法
果索因法
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第二章 推理与证明
想一想 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是 演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推 理，因为综合法与分析法的每一步推理都是 严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都 是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
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第二章 推理与证明
2.分析法是把所要求证的结论当作已知条件来 推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作 已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充 分条件．
第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思 维过程.
…
得到一个明显 成立的结论
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第二章 推理与证明
2．2.1 综合法和分析法
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第二章 推理与证明
新知初探思维启动
综合法和分析法
综合法
分析法
从_要__证__明____的结论出发，
利用_已__知__条__件__和某些数 逐步寻求使它成立的 学__定__义___、___公__理___、 _充__分合法：
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,
经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论
成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法
特点：由因导果 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示
所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
2，分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法。 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q P1
P1 P2
P2 P3
定 __定__理____等，经过一系列 把要证明的结论归结为判
义 的_推__理__论__证___，最后推导 定一个明显成立的条件(已 出所要证明的结论成立， 知条件定、义_______定_、理
这种证明方法叫做综合法 _公__理____、_______等)，这
种证明方法叫做分析法
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综合法
P⇒Q1 →
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第二章 推理与证明
做一做 1.以下命题中正确的是( ) A．综合法是执果索因的逆推法 B．综合法是由因导果的顺推法 C．综合法是因果互推的两头凑法 D．综合法就是举反例 答案：B
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第二章 推理与证明
2.要证明 3＋ 7<2 5可选择的方法有以下几
种，其中最合理的是( )
A．综合法
【思路点拨】 题目条件适合使用分析法证 明不等式，只需要注意分析法证明问题的格 式即可．
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第二章 推理与证明
名师微博 分类讨论是关键！
【证明】 当 a＋b≤0 时， ∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.2 分 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，3 分 只需证( a2＋b2)2≥ 22（a＋b）2，5 分
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定 理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
第二章 推理与证明
【证明】 ∵x＋y＋z＝m， ∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2. 又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz. ∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)， 即 x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx， ∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)． ∴x2＋y2＋z2≥m32.
所以
a
+ 2
b
ab成立
还原成综合法： 证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
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第二章 推理与证明
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 综合法的应用
例1 已知 x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m32.
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B．分析法
C．类比法
D．归纳法
解析：选B.从数据来看，宜用分析法．
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分析基本不等式： (a>0,b>0)的证明.
a+b 2
第二章 推理与证明
ab
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
第二章 推理与证明
例：求证： 3 7 2 5
证明：因为
3 7和2 5 都是正数，
所以为了证明
3 72 5
只需证明 ( 3 7 )2 (2 5)2
展开得 10 2 21 20 即 21 5
只需证明21<25，因为21<25成立，
所以不等式
3 7 2 5 成立。
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
互动探究 1.已知a＋b＋c＝6.求a2＋b2＋c2的最小值． 解：由本例的结论知 a2＋b2＋c2≥632＝12， 当且仅当 a＝b＝c＝2 时，“＝”成立， ∴a2＋b2＋c2 的最小值为 12.
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第二章 推理与证明
题型二 分析法的应用
例2 (本题满分 9 分)设 a，b 为实数．求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．