第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,2L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =( C )24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t tz ty t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它=m ( A )⎰++1421dtt ttB.⎰++14221dtt ttC.⎰++1421dtt tD.⎰++1421dtt tt4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,xy x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y xa y x解：原积分=()()222sin 4sin 44222'2441-==+=⎰⎰⎰ad ad rrr ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22 其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222azyx =++得2222az x =+于是L 的参数方程：ta z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adtds =原积分=⎰=ππ203222cos2aadt t a8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 10==⎰∞-dt e t e Mx tt ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=⎰Ldx y x P , ( D) A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-1,2L dx y x P都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Lyx ydyxdx 3．L 为222ayx =+的正向，=+--+⎰Lyxdyy x dx y x 22)()(( B ) A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向 解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx xxdx x xdx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+ 解： 由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cossin3224πππππ4cossin4224adt t t a=⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]333344cos sin 2sin1aa dx x a x a x x aa I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=Ia aa I。

,1=a ()a I 最小，此时 x y sin =四、空间每一点处()z y x P ,,有力()z y x F ,,→，其大小与()z y x P ,,到z 轴的距离成反比，方向垂直指向z 轴，试求当质点沿圆周t z y t x sin ,1,cos ===从点()0,1,1M 到()1,1,0N 时，力()z y x F ,,→所作的功解：由已知()}0,,{,,2222yxkyyx kxz y x F +-+-=2ln 2cos 1coscos 222222k t d t tk dy yxkydx yxkxW L=+-=+-++-=⎰⎰π五、将积分y y x Q x y x P L d ),(d ),(⎰+化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周0222=-+x yx).0,2()0,0(B O 到从解：,22x x y -=xxx x y d 21d 2--=,x y dsd 12'+=xxx d 212-=sx d d cos =α,22x x -=xsy -==1d d cos β，于是=+⎰y y x Q x y x P L d ),(d ),(sx y x Q xx y x P Ld )1(),(2),(2⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-§3 格林公式及其应用一、选择题 1.若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x 取顺时针方向,则 ⎰-Lxdyydx = ( C )A.0B.ab2πab π. D ab π22. 设L 为222ay x=+的正向，则=+-⎰yxydyx dx xy 2222( C )A ．2π B.-2ππ3.设L 为曲线922=+yx 的正向，则()()=-+-⎰dy x xdx y xyL4222( B )A ．9ππ C. -9π D.0二、计算题 1.设L 是圆1222=++x yx 取逆时针方向，则()=++++⎰Lyxy x dyedx yx2ln 22222解：将方程代入被积函数再由格林公式得 原式= ()⎰⎰⎰==+-LDy dxdydy e dx x 0021ln 22．()()⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy ,3sin 21cos 22233其中L 为点()0,0O 到⎪⎭⎫⎝⎛1,2πA 的抛物线x y π22=的弧段。

解：因yP xQ ∂∂=∂∂故积分与路径无关，取⎪⎭⎫⎝⎛0,2πB=I 4232sin 2102122πππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+⎰⎰⎰dy y y BAOB3．求⎰+-=Lyxxdy ydx I22，L 为(1)()()11122=-+-y x (2) 正方形边界1=+y x 的正向解：(1)直接用格林公式=0(2) 设l 为圆周：222r y x =+取逆时针方向，其参数方程π20:,sin ,cos →==t t r y t r x原积分为⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=--lDlDdxdy0所以ππ2cos sin20222222222-=--=+-=+-⎰⎰⎰dt rtr t r yxxdy ydx yxxdy ydx lL4、验证()()dy e xy dx yeyxx+++22在xoy面上是某函数()y x u ,的全微分，求出()y x u ,证明：xey yP xQ +=∂∂=∂∂2，()xyexyy x u +=2,，5、设曲线积分()⎰+dyx y dx xy ϕ2与路径无关，其中()x ϕ具有连续的导数，且()00=ϕ，计算()()()⎰+1,10,02dyx y dx xy ϕ的值解：取路径：沿0=x 从()0,0到()1,0；再沿1=y 从()1,0到()1,1则()21011=+=⎰⎰xdx dy y I ϕ或()()()2'00,2x x x x yP xQ ===⇒∂∂=∂∂ϕϕϕ得又，代入计算。

§4 对面积的曲面积分 1、计算曲面积分 ⎰⎰∑++ds y x z )342(，其中∑是平面1432=++z y x 在第一卦限的部分解：⎰⎰⎰⎰-==++--=xyD x dy dxdxdy y x y x I2)21(30614361.4361]342)321(4[2、求曲面积分⎰⎰∑++ds zy x 2221 ，其中∑是界于平面z=0和z=H 之间的圆柱面222R y x =+ 解：⎰⎰⎰⎰--+=-++=RRHD dyyRdz zRRdydz yRyzRIyz2222222221.12112=2RH Ry Rz RR Harctan2].[arcsin][arctan0π=-3、求曲面积分⎰⎰∑++ds zx yz xy )( ，其中∑是锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+所截得的有限部分解：dxdyy xy x xy IxyD 2])([22⎰⎰+++==⎰⎰-++22cos 2022]).sin (cos sin cos [ππθθθθθθa rdrr r rd =421564a§ 5 对坐标的曲面积分 一、选择题1.设∑关于yoz 面对称反向，1∑是∑在yoz 面的前侧部分，若()z y x P ,,关于x 为偶函数，则()⎰⎰=dydz z y x P ,,（ A ）()⎰⎰∑1,,2dydz z y x P C. ()⎰⎰∑-1,,2dydz z y x P D.ABC 都不对2.设()0:2222≥=++∑z a z y x 取上侧,则下述积分不等于零的是（ B ）A ⎰⎰∑dydzx 2∑xdydzC ⎰⎰∑ydxdyD ⎰⎰∑zdxdz3.设∑为球面1222=++z y x取外侧,1∑为其上半球面,则有（ B ）A.⎰⎰⎰⎰∑∑=12zdszds⎰⎰∑∑=12zdxdyzdxdyC.⎰⎰⎰⎰∑∑=1222dxdyz dxdyz D.二、计算 1．⎰⎰∑++dxdyz dzdx y dydzx 222其中∑由1=++z y x 及三个坐标面所围成闭曲面的外侧()()112221111214xyxD z dxdy x y dxdy dxx y dy -∑=--=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：由轮换对称性原式2．()x y dydz ∑+⎰⎰其中∑为锥面22yxz +=被平面1=z 所截部分的外侧()2221222cos 3xx y ydydz xdydz x z dxdy d rdr ππθθ∑∑∑+≤===-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：由对称性 原式3.()()⎰⎰∑-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )(其中∑为22y x z +=被平面1=z 所截部分，其法向量与z 轴成锐角()()()2222221213222cos 2x y ydydz zdzdx xy z x dxdy xy x dxdyd r r dr ππθθ∑∑∑+≤==⎡⎤=--+-=+-⎣⎦=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：由对称性原式三、用两类曲面积分之间的关系计算1． 求⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (23γβα其中∑是柱面222ayx =+在hz ≤≤0部分，γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线的方向()3223332244423224cos 4haax dydz y dzdx zdxdydxdy x dydz x dydz dzaydy hatdt a hππ∑∑∑-=++===-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式由奇偶对称性 及 =0 得原式2．()()⎰⎰∑+++++dxdy z z y x f dzdx y z y z f dydzx z y x f ),,(),,(2)),,((其中),,(z y x f 为连续函数，∑为平面1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧{1,1,1}n ∑=- 解：的法向量为 .31cos ,31cos ,31cos =-==∴γβα()x y z dS ∑=-+⎰⎰原式 ⎰⎰⋅=xyD dxdy3131=21四、试求向量→→→→+++=k yxej z i A z22穿过由22yxz +=及1=z 及2=z 所围成圆台外侧面（不含上下底）的流量()221021zz r dydz zdzdx dydz zdzdx d e dr e e πθπ∑∑∑∑Φ++⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：=由奇偶对称性知§6 高斯公式 1. 设∑是抛物面)(2122y xz +=介于0=z 及2=z 之间部分的下侧，求()⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 2解：()=-+⎰⎰∑zdxdy dydz x z 28π,加面后用高斯公式。