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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2020年高考数学一模拟试卷
一、选择题：
1．已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B = ð)A．[3，)+∞B．(1，3]C．(1,3)D．(3,)+∞2．设复数z 满足(2)34z i i i +=- ，则复数z 在复平面内对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于(
)A．18
B．36
C．45
D．60
4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()
A．若//m α，//n α，则//m n B．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
C．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n
⊥5．2521
(2)(1)x x +-的展开式的常数项是()
A．3
-B．2
-C．2D．3
6．已知11
12
x n =，1
22x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是(
)
A．132x x x <<B．123x x x <<C．213x x x <<D．312
x x x <<7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为()
A．13B．14C．15
D．16
8．在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，
过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AE EC =
)
A．725B．1225C．125D．
14425
9．函数2
()(1)sin 1x
f x x e =-+图象的大致形状是(
)A．B．
C．D．
10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排
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法的种数是()
A．36
B．24C．72D．144
11．已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3
()5
f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -=)
A．35-B．4
5
-C．23D．12．已知函数2
44()()x
f x k lnx k x -=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，
2)y ，使曲线()y f x =在M ，
N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为(
)
A．8(,)5+∞B．16(,)5+∞C．8[,)5+∞D．16[,)
5
+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈ ，则当1n 时，n a =
．
14．设当x θ=时，函数()sin f x x x =+取得最大值，则tan()4π
θ+=．
15．已知函数322
()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -=．
16．在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥
S ABC -外接球的表面积是
．
三、解答题：
17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且3cos 2sin(
)102
A A π
+-+=．（1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆的面积S =，3b =．求sin C 的值．
18．（12分）在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，2
3
2637225a a a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当
3
12123n S S S S n
+++⋯+取最大值时，求n 的值．
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19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，EF =．
（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；
（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．
20．（12分）某种规格的矩形瓷砖(600600)mm mm ⨯根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg 都服从正态分布2(,)N μσ，并把质量在(3,3)u u σσ-+之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．
（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm 、()b mm ，则“尺寸误差”()mm 为|600||600|a b -+-，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、
“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0，0.2]、(0.2，0.5]、(0.5，1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm 的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：
（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）
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用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．
（Ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元)，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．（Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．
附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ
，则(33
)0.9974p Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，580.32768
=21．（12分）已知函数()1()a
f x lnx x a a R x
=+
-+-∈．（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在()11,x
x f x x x
->+<使成立，求整数a 的最小值。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (sin x y αα
ααα
⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数）
，坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos()26π
ρθ+=．
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB 为定值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数()|1||2|()f x x x m m R =-++∈．（1）若2m =时，解不等式()3f x ；
（2）若关于x 的不等式()|23|f x x - 在[0x ∈，1]上有解，求实数m 的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号123456789101112答案
A
B
C
D
D
B
D
D
C
C
B
B
二、填空题
12-n 14.3
2+15.1516.
3
20π三、解答题17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.。