5．(2017· 沧州七校联考)抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点 或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次 数X的均值是( 55 A. 6 50 C. 3 ) 40 B. 3 D．10
答案 C 1 1 解析 至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－3)(1－3)＝ 4 5 5 5 50 1－9＝9.∴X～B(30，9)，∴E(X)＝30×9＝ 3 .
n＋1 1 (2)E(X)＝ (1＋2＋…＋n)＝ ， n 2 n＋1 2 n＋1 2 n＋1 2 1 D(X)＝n[(1－ 2 ) ＋(2－ 2 ) ＋…＋(n－ 2 ) ] n＋1 2 1 2 1 2 2 2 2 ＝ (1 ＋2 ＋3 ＋…＋n )－( ) ＝ (n －1)． n 2 12
(3)设X为该生选对试题个数，Y为成绩． 则X～B(50，0.7)，Y＝3X. ∴E(X)＝50×0.7＝35，D(X)＝50×0.7×0.3＝10.5. 故E(Y)＝E(3X)＝3E(X)＝105， D(Y)＝D(3X)＝9D(X)＝94.5. n＋1 1 2 35 【答案】 (1)3.5，10， (2) ， (n －1) 12 2 12 (3)105，94.5
)
9 D.20
答案 C 解析 由分布列的性质知2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x 1 20 ＝ ，∴E(x)＝0· 2x＋1· 3x＋2· 7x＋3· 2x＋4· 3x＋5·x＝40x＝ . 18 9
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1，6，D(X)＝1.28， 则( ) A．n＝8，p＝0.2 C．n＝5，p＝0.32 B．n＝4，p＝0.4 D．n＝7，p＝0.45
第 课时 随机变量的期望与方差
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1．了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意 义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差． 2．离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意 义，因此求期望、方差是应用题的命题方向．
请注意 期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示 的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一．高考的主要 题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用题．
课前自助餐
期望与方差 若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为X的数学期望． 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn ＋…为X的方差， (X)． D（X） 叫做随机变量X的标准差，记作σ
答案 A 解析 由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，检验可知 n＝8，p＝0.2符合．
3．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)， D(Y)分别是( A．6和2.4 C．2和5.6 ) B．2和2.4 D．6和5.6
答案 B 解析 由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求 得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝ 10×0.6×0.4＝2.4.
离散型随机变量的期望与方差具有下列性质 (1)离散型随机变量X的期望E(X)与方差D(X)是一个数值， 它们是随机变量X本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机 性． (2)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的平均水 平，而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程度．
(3)若Y＝aX＋b，其中X是离散型随机变量，a，b为常数， 则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)． (4)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(X) 的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．
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题型一 期望、方差的性质 1 (1)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ 6 (k＝1，2，3， 4，5，6)，求E(X)，E(2X＋3)和D(X)． 1 (2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ n (k＝1，2，3，…， n)，求E(X)和D(X)．
(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中 有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得 分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这 次测试中的成绩的均值与方差．
4．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值 为( ) A．3·2－2 C．3·2
－10
B．2－4 D．2
－8
答案 C 1 解析 ∵E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝ 2 ，n＝ 1 1 11 1 12，则P(X＝1)＝C12 · ·( ) ＝3· 2－10. 2 2
常见离散型随机变量X的期望与方差 (1)两点分布：若随机变量X满足P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－ p，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X) ＝np(1－p)．
1．若随机变量X的分布列如表，则E(X)等于( X P 1 A. 18 20 C. 9 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x B. 1 9 4 3x 5 x
6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1
000粒，
对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 X，则X的数学期望为( A．100 C．300 ) B．200 D．400
答案 B 解析 记“不发芽的种子数为Y”，则Y～B(1 000，0.1)， 所以E(Y)＝1 000×0.1＝100，而Y＝2Y，故E(Y)＝E(2Y)＝2E() ＝200，故选B.
【解析】 (1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋x6p6＝3.5， E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝10. D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x6－E(X))2p6 1 ＝6[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋…＋(6－3.5)2] 1 35 ＝17.5× ＝ . 6 12