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五．欧拉线： △ABC 的外心 O ，重心 G ，垂心 H 三点共线(欧拉线)，且 OG 1 GH ． 2
测试题
一．选择题
1． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC) ， 0, ，
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )
A．外心
B．内心
8．在 △ABC 中，动点
P
2
满足： CA
2
CB
2 AB
CP
，则
P
点轨迹一定通过△ABC
的(
)
Ａ．外心 Ｂ．内心 C．重心 D．垂心
9．已知 ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ，满足 PA PB PC 0 ，若实数 满足： AB AC AP ，
则 的值为(
A．2
)
B． 3 2
，若
2
AB
AB
AC
AB CB
BC CA ，则 ABC 为(
)
A．等腰三角形 二．填空题
C．重心
D．垂心
2．(03 全国理 4) O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0, ，
AB AC
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的(
)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
3． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， R ， AB cosB AC cosC
变式：已知 D，E，F 分别为 △ABC 的边 BC，AC，AB 的中点．则 AD BE CF 0 ．
二、三角形的外心的向量表示及应用
2
2
2
知识： O 是 △ABC 的外心 | OA || OB || OC | OA OB OC
sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
B．内心
C．重心
D．垂心
13．(06 陕西)已知非零向量
AB 与 AC
满足 |
AB AB | |
AC AC
| BC
0且 |
AB AB | |
AC AC
|
1 2
,
则△ABC 为(
)
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
14．已知 ABC 三个顶点
A、B、C
满足 OP
OB OC
AB
AC
，R，
2
AB
cos B
AC
cos C
则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的(
)．
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
6． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP 1[(1 )OA (1 )OB (1 2)OC] ， R * ， 3
工具： O 为 △ABC 内一点，则有： SOBC OA SOCA OB SOAB OC 0
一、三角形的重心的向量表示及应用
知识： G 是 △ABC 的重心 AG 1 (AB AC) 3
AG BG CG 0 OG 1 (OA OB OC) 3
( O 为该平面上任意一点)
常用结论： O 是 △ABC 的外心 AB AO | AB |2 ; 2
三、三角形的垂心的向量表示及应用
AC AO | AC |2 . 2
知识： H 是 △ABC 的垂心 HA HB HB HC HC HA
| HA|2 | BC |2 | HB |2 | CA|2 | HC |2 | AB |2
三角形“四心”的向量性质及其应用
三角形“四心”的概念介绍 (1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； (2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直； (4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
C．3
D．6
10．设点 P
是 ABC 内一点，用 SABC 表示 ABC 的面积，令 1
SPBC SABC
， 2
SPCA SABC
， 3
SPAB SABC
．
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定义
f
(P)
(1, 2 , 3 )
，若
f
(G)
(1 , 1 , 1), 333
f
(Q)
(1 , 1 , 1) 则( 236
A．点 Q 在 ABG 内 B．点 Q 在 BCG 内 C．点 Q 在 CAG 内
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的(
)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
4． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0, ，
AB sin B AC sin C
则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的(
)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
5． O 是 ABC 所在平面上一定点，动点 P
tan A HA tan B HB tan C HC 0
扩展：若 O 是 △ABC 的外心，点 H 满足： OH OA OB OC ，则 H 是 △ABC 的垂心
四、三角形的内心的向量表示及应用
AI
|
AB AB
|
|
AC AC
|
0
AI
|
BA BA |
|
AC AC
|
0
知识： I
) D．以上皆不对
11．若 ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 1， OA OB OC 0 ，则 OA OB (
)
A． 1 2
B．0
C．1
D． 1 2
12． O 是平面上一定点，
A、B、C
2
是平面上不共线的三个点，若 OA
2
BC
2
OB
2
CA
2
OC
2
AB
，
则 O 是 ABC 的(
)
A．外心
则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的(
)．
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AB 边的中点
7．已知 O 是 ABC 的重心，动点 P 满足 OP 1 (1 OA 1 OB 2OC) ,则点 P 一定为△ABC 的(
)
32 2
A．AB 边中线的中点
B．AB 边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB 边的中点
是 △ABC 的内心
BI
|
BA BA
|
|
BC BC
|
0
BI
|
CB CB
|
|
BA BA
|CA
|
|
CB CB
|
0
CI
|
BC BC
|
|
CA CA
|
0
a IA b IB c IC 0 OI a OA b OB c OC abc
sin A IA sin B IB sin C IC 0 注：式子中 a | BC |, b | CA |, c | AB | ， O 为任一点．