1、三角形重心的向量性质：0=++OC OB OA ．
2、三角形外心的向量性质：||||||OC OB OA ==．
3、三角形垂心的向量性质：OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅．
4、三角形内心的向量性质：0=++OC c OB b OA a ． 证明：内心是内角分线的交点，
c AB ，b AC 是AB ，AC 方向上的单位向量， 所以+c AB b
AC 平分BAC ∠， 又AO 平分BAC ∠， 所以AO 与+c AB b
AC 共线， 由共线定理知AO +=c AB (λ)b AC ， 所以AB AO ⋅+=c AB (λAB b AC ⋅)， 所以)(2b
AB AC c AB AB AO ⋅+=⋅λ， )cos 1(cos cos 22A c A c c b
A bc c c b A
B A
C c AB +=+=+=⋅+， 由于AO 在AB 方向上的投影是AF ， 所以2
tan 2tan ||||||A rc c A OF AB AF AB AO =⋅==⋅， 所以)cos 1(2tan A c A rc
+=λ， 所以)cos 1(2tan A A r +=λ， 而A A A A A A
A A sin 2cos 2sin 22cos 22
cos 2sin
)cos 1(2tan 2==⋅=+， 所以A
r sin =λ， 根据r c b a A bc S ⋅++==∆2sin 21，知道c b a bc A r ++=sin ， c b a F E D O
C
B A
所以c
b a b
c ++=
λ， 将之代入AO +=c AB (λ)b
AC ，并整理得：AC c AB b AO c b a +=++)(， 由于OA OB AB -=，OA OC AC -=， 所以)()()(OA OC c OA OB b AO c b a -+-=++， 进一步整理即可得证．。